高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解.doc

高考总复习
高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解
一、选择题
1．(2010·聊城市、银川模拟)在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且sin2A－sin2C＝(sinA－sinB)sinB，则角C等于(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　由正弦定理得a2－c2＝(a－b)·b，
由余弦定理得cosC＝＝，
∵0<C<π，∴C＝.
2．(文)(2010·泰安模拟)在△ABC中，若A＝60°，BC＝4，AC＝4，则角B的大小为(　　)
A．30° B．45°
C．135° D．45°或135°
[答案]　B
[解析]　∵AC·sin60°＝4×＝2<4<4，故△ABC只有一解，由正弦定理得，＝，
∴sinB＝，∵4<4，∴B<A，∴B＝45°.
(理)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，A＝，a＝，b＝1，则c＝(　　)
A．1 B．2
C.－1 D.
[答案]　B
[解析]　∵bsinA＝<1<，∴本题只有一解．
∵a＝，b＝1，A＝，
∴根据余弦定理，cosA＝＝＝，
解之得，c＝2或－1，
∵c>0，∴c＝2.故选B.
3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a＝2，b＝2，且三角形有两解，则角A的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　由条件知bsinA<a，即2sinA<2，∴sinA<，
∵a<b，∴A<B，∴A为锐角，∴0<A<.
[点评]　如图，AC＝2，以C为圆心2为半径作⊙C，则⊙C上任一点(⊙C与直线AC交点除外)可为点B构成△ABC，当AB与⊙C相切时，AB＝2，∠BAC＝，当AB与⊙C相交时，∠BAC<，因为三角形有两解，所以直线AB与⊙C应相交，∴0<∠BAC<.
4．(2010·湖南理)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.若∠C＝120°，c＝a，则(　　)
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定
[答案]　A
[解析]　∵∠C＝120°，c＝a，c2＝a2＋b2－2abcosC
∴a2－b2＝ab，
又∵a>0，b>0，∴a－b＝>0，所以a>b.
5．(文)(2010·天津理)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
[答案]　A
[解析]　由余弦定理得：cosA＝，
∵sinC＝2sinB，∴c＝2b，∴c2＝2bc，
又∵b2－a2＝－bc，∴cosA＝，
又A∈(0°，180°)，∴A＝30°，故选A.
(理)(2010·山东济南)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为(　　)
A. B.
C.或 D.或
[答案]　D
[解析]　由(a2＋c2－b2)tanB＝ac得，·tanB＝，再由余弦定理cosB＝得，2cosB·tanB＝，即sinB＝，∴角B的值为或，故应选D.
6．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为(　　)
A．1＋ B．3＋
C. D．2＋
[答案]　C
[解析]　acsinB＝，∴ac＝2，
又2b＝a＋c，∴a2＋c2＝4b2－4，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，b＝.
7．(2010·厦门市检测)在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC等于(　　)
A. B.
C. D．2
[答案]　C
[解析]　∵A、B、C成等差数列，∴B＝60°，
∵＝，∴sinA＝＝＝，
∴A＝30°或A＝150°(舍去)，∴C＝90°，
∴S△ABC＝ab＝.
8．(2010·山师大附中模考)在△ABC中，cos2＝(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．正三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
[答案]　A
[解析]　∵cos2＝，∴＝，
∴sinCcosB＝sinA，
∴sinCcosB＝sin(B＋C)，∴sinBcosC＝0，
∵0<B，C<π，∴sinB≠0，cosC＝0，∴C＝，故选A.
9．(2010·四川双流县质检)在△ABC中，tanA＝，cosB＝，若最长边为1，则最短边的长为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　由tanA>0，cosB>0知A、B均为锐角，
∵tanA＝<1，∴0<A<，cosB＝>，
∴0<B<，∴C为最大角，
由cosB＝知，tanB＝，∴B<A，∴b为最短边，
由条件知，sinA＝，cosA＝，sinB＝，
∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB
＝×＋×＝，
由正弦定理＝知，＝，∴b＝.
10．(2010·山东烟台)已知非零向量，和满足·＝0，且＝，则△ABC为(　　)
A．等边三角形
B．等腰非直角三角形
C．直角非等腰三角形
D．等腰直角三角形
[答案]　D
[解析]　∵＝cos∠ACB＝，
∴∠ACB＝45°，
又∵·＝0，
∴∠A＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形，故选D.
二、填空题
11．(文)判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是________．
①a＝1，b＝，B＝45°；
②a＝，b＝，A＝30°；
③a＝6，b＝20，A＝30°；
④a＝5，B＝60°，C＝45°.
[答案]　①④
[解析]　①一解，asinB＝<1<，有一解．
②两解，b·sinA＝<<，有两解；
③无解，b·sinA＝10>6，无解．
④一解，已知两角和一边，三角形唯一确定．
(理)在锐角△ABC中，边长a＝1，b＝2，则边长c的取值范围是________．
[答案]　<c<
[解析]　边c最长时：
cosC＝＝>0，
∴c2<5.∴0<c<.
边b最长时：cosB＝＝>0，
∴c2>3.∴c>.
综上，<c<.
12．(2010·上海模拟)在直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－1,0)，C(1,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则的值为________．
[答案]　2
[解析]　由题意知△ABC中，AC＝2，BA＋BC＝4，
由正弦定理得＝＝2.
13．(文)(2010·沈阳模拟)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若b2＋c2＝a2＋bc，且·＝4，则△ABC的面积等于________．
[答案]　2
[解析]　∵b2＋c2＝a2＋bc，∴cosA＝＝，
∵·＝4，∴b·c·cosA＝4，∴bc＝8，
∴S＝AC·ABsinA＝×bc·sinA＝2.
(理)(2010·北京延庆县模考)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝c＝2b且sinB＝，当△ABC的面积为时，b＝________.
[答案]　2
[解析]　∵a＋c＝2b，∴a2＋c2＋2ac＝4b2(1)
∵S△ABC＝acsinB＝ac＝，∴ac＝(2)
∵sinB＝，∴cosB＝(由a＋c＝2b知B为锐角)，
∴＝，∴a2＋c2＝＋b2(3)
由(1)、(2)、(3)解得b＝2.
14．(2010·合肥市质检)在△ABC中，＝，则角B＝________.
[答案]　
[解析]　依题意得sin2A－sin2B＝sin(A＋B)(sinA－sinC)＝sinAsinC－sin2C，
由正弦定理知：a2－b2＝ac－c2，
∴a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理知：cosB＝＝，
∴B＝.
三、解答题
15．(文)(2010·广州六中)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos＝，·＝3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若b＋c＝6，求a的值．
[解析]　(1)∵cos＝，
∴cosA＝2cos2－1＝，sinA＝.
又由·＝3得，bccosA＝3，∴bc＝5，
∴S△ABC＝bcsinA＝2.
(2)∵bc＝5，又b＋c＝6，∴b＝5，c＝1或b＝1，c＝5，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，∴a＝2.
(理)(2010·山东滨州)已知A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，且m·n＝sin2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且·(－)＝18，求边c的长．
[解析]　(1)m·n＝sinA·cosB＋sinB·cosA＝sin(A＋B)．
在△ABC中，由于sin(A＋B)＝sinC.
∴m·n＝sinC.
又∵m·n＝sin2C，
∴sin2C＝sinC，∴2sinCcosC＝sinC.
又sinC≠0，所以cosC＝.而0<C<π，因此C＝.
(2)由sinA，sinC，sinB成等差数列得，
2sinC＝sinA＋sinB，
由正弦定理得，2c＝a＋b.
∵·(－)＝18，∴·＝18.
即abcosC＝18，由(1)知，cosC＝，所以ab＝36.
由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcosC
＝(a＋b)2－3ab.
∴c2＝4c2－3×36，∴c2＝36.
∴c＝6.
16．(文)在△ABC中，已知AB＝，BC＝2.
(1)若cosB＝－，求sinC的值；
(2)求角C的取值范围．
[解析]　(1)在△ABC中，由余弦定理知，
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB
＝3＋4－2×2×＝9.
所以AC＝3.
又因为sinB＝＝＝，
由正弦定理得＝.
所以sinC＝sinB＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理得，
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC，
∴3＝AC2＋4－4AC·cosC，
即AC2－4cosC·AC＋1＝0.
由题意知，关于AC的一元二次方程应该有解，
令Δ＝(4cosC)2－4≥0，得cosC≥，或cosC≤－(舍去，因为AB<BC)
所以，0<C≤，即角C的取值范围是.
[点评]　1.本题也可用图示法，如图：A为⊙B上不在直线BC上的任一点，由于r＝AB＝，故当CA与⊙B相切时∠C最大为，故C∈.
2．高考命题大题的第一题一般比较容易入手，大多在三角函数的图象与性质、正余弦定理、平面向量等内容上命制，这一部分要狠抓基本原理、公式、基本方法的落实．
(理)(2010·东北师大附中、辽宁省实验中学联考)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosC＋c＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．
[解析]　(1)由acosC＋c＝b得
sinAcosC＋sinC＝sinB
又sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC
∴sinC＝cosAsinC，
∵sinC≠0，∴cosA＝，
又∵0<A<π，∴A＝.
(2)解法1：由正弦定理得：
b＝＝sinB，c＝sinC
l＝a＋b＋c＝1＋(sinB＋sinC)
＝1＋(sinB＋sin(A＋B))
＝1＋2＝1＋2sin
∵A＝，∴B∈，∴B＋∈，
∴sin∈.
故△ABC的周长l的取值范围是(2,3]．
解法2：周长l＝a＋b＋c＝1＋b＋c
由(1)及余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，
∴b2＋c2＝bc＋1，
∴(b＋c)2＝1＋3bc≤1＋32，∴b＋c≤2，
又b＋c>a＝1，∴l＝a＋b＋c∈(2,3]，
即△ABC的周长l的取值范围为(2,3]．
17．(文)△ABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m＝(2sinB，－)，n＝(cos2B,2cos2－1)且m∥n.
(1)求锐角B的大小；
(2)如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．
[分析]　(1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数，利用三角恒等变换知识解决；(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决．
[解析]　(1)∵m∥n，
∴2sinB＝－cos2B
∴sin2B＝－cos2B，即tan2B＝－
又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝，∴B＝.
(2)∵B＝，b＝2，
∴由余弦定理cosB＝得，
a2＋c2－ac－4＝0
又∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)
S△ABC＝acsinB＝ac≤(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，
[点评]　本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起，题目新疑精巧，难度也不大，即符合在知识“交汇点”处构题，又能加强对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，大大简化了向量的关系的运算，该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解．
(理)(2010·山师大附中模考)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sinB＝，且a、b、c成等比数列．
(1)求＋的值；
(2)若accosB＝12，求a＋c的值．
[解析]　(1)依题意，b2＝ac
由正弦定理及sinB＝得，sinAsinC＝sin2B＝.
＋＝＋＝＝＝.
(2)由accosB＝12知cosB>0，
∵sinB＝，∴cosB＝(b不是最大边，舍去负值)
从而，b2＝ac＝＝13.
由余弦定理得，b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB.
∴13＝(a＋c)2－2×13×.
解得：a＋c＝3.

含详解答案