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资料知知识识点串点串讲讲 必修四必修四资料第一章：三角函数第一章：三角函数1.1 1 任意角任意角1 1、角的有关概念：、角的有关概念：角的定义：角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 角的名称：角的名称：角的分类：角的分类：2 2、象限角的概念：、象限角的概念：定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x x轴的非负轴的非负半轴重合，那么角的终边半轴重合，那么角的终边(端点除外端点除外)在第几在第几象限，我们象限，我们就说这个角是第几象限角就说这个角是第几象限角终边相同的角的表示：终边相同的角的表示：所有与角所有与角终边相同的角，连同终边相同的角，连同在内，可构成一个集合在内，可构成一个集合S S|=+k k360360 ，k kZ Z，即任一与角，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和与整个周角的和注意：注意：k kZ Z 是任一角；是任一角；终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同终边相同的角有无限个，它们相差终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同终边相同的角有无限个，它们相差360360的整数倍；的整数倍；角角 +k720k720 与角与角终边相同，但不能表示与角终边相同，但不能表示与角终边相同的所有角终边相同的所有角3 3、写出终边在、写出终边在y y轴上的角的集合轴上的角的集合(用用 00到到 360360的角表示的角表示)解解:|=90+90+n n180,180,n nZZ4 4、已知、已知角是第三象限角，则角是第三象限角，则 2 2，2各是第几象限角？各是第几象限角？解：解：Q角属于第三象限，角属于第三象限，k k360+180360+180k k360+270(360+270(k kZ)Z)因此，因此，2 2k k360+360360+3602 22 2k k360+540(360+540(k kZ)Z)即即(2(2k k +1)360+1)3602 2(2(2k k +1)360+180(+1)360+180(k kZ)Z)故故 2 2是第一、二象限或终边在是第一、二象限或终边在y y轴的非负半轴上的角轴的非负半轴上的角又又k k180+90180+902k k180+135(180+135(k kZ)Z)当当k k为偶数时，令为偶数时，令k k=2=2n n(n nZ)Z)，则，则n n360+90360+902n n360+135(360+135(n nZ)Z)，当当k k为奇数时，令为奇数时，令k k=2=2n n+1+1 (n nZ)Z)，则，则n n360+270360+2702n n360+315(360+315(n nZ)Z)，因此因此2属于第二或第四象限角属于第二或第四象限角1.1.2 弧度制弧度制1 1、弧度制、弧度制我们规定我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 1 弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边终边顶点AOB正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角资料制在弧度制下制在弧度制下,1 1 弧度记做弧度记做 1rad1rad在实际运算中，常常将在实际运算中，常常将 radrad 单位省略单位省略2 2、弧度制的性质：弧度制的性质：半圆所对的圆心角为半圆所对的圆心角为;rr 整圆所对的圆心角为整圆所对的圆心角为.22rr正角的弧度数是一个正数正角的弧度数是一个正数 负角的弧度数是一个负数负角的弧度数是一个负数零角的弧度数是零零角的弧度数是零 角角 的弧度数的绝对值的弧度数的绝对值|=|=.rl3 3、弧长公式、弧长公式rlrl 弧长等于弧所对应的圆心角弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数的弧度数)的绝对值与半径的积的绝对值与半径的积.,216.是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例RllRS 证法一证法一:圆的面积为圆的面积为2R,圆心角为圆心角为 1rad1rad 的扇形面积为的扇形面积为221R,又扇形弧长为又扇形弧长为 l,l,半径为半径为 R,R,扇形的圆心角大小为扇形的圆心角大小为Rlrad,rad,扇形面积扇形面积lRRRlS21212证法二证法二:设圆心角的度数为设圆心角的度数为 n n，则在角度制下的扇形面积公式为，则在角度制下的扇形面积公式为3602RnS，又此时弧长，又此时弧长180Rnl，RlRRnS2118021可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多22121:RlRS一一一一一一1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数1 1、三角函数定义、三角函数定义在直角坐标系中，设在直角坐标系中，设 是一个任意角，是一个任意角，终边上任意一点终边上任意一点P（除了原点）的坐标为（除了原点）的坐标为(,)x y，它，它资料与原点的距离为与原点的距离为2222(|0)r rxyxy，那么，那么（1 1）比值）比值yr叫做叫做 的正弦，记作的正弦，记作sin，即，即sinyr；（2 2）比值）比值xr叫做叫做 的余弦，记作的余弦，记作cos，即，即cosxr；（3 3）比值）比值yx叫做叫做 的正切，记作的正切，记作tan，即，即tanyx；（4 4）比值）比值xy叫做叫做 的余切，记作的余切，记作cot，即，即cotxy；2 2三角函数的定义域、值域三角函数的定义域、值域3 3、求函数、求函数xxxxytantancoscos的值域的值域解：解：定义域：定义域：cosxcosx 0 0 xx 的终边不在的终边不在 x x 轴上轴上 又又tanxtanx 0 0 xx 的终边不在的终边不在 y y 轴上轴上当当 x x 是第是第象限角时，象限角时，0,0yx cosx=|cosx|cosx=|cosx|tanx=|tanx|tanx=|tanx|y=2y=2 ,0,0yx|cosx|=|cosx|=cosxcosx|tanx|=|tanx|=tanxtanx y=y=2 2,0,00,0yxyx|cosx|=|cosx|=cosxcosx|tanx|=tanx|tanx|=tanx y=0y=04 4、诱导公式、诱导公式)Z(tan)2tan()Z(cos)2cos()Z(sin)2sin(kkkkkk5 5、三角函数线的定义：、三角函数线的定义：设任意角设任意角的顶点在原点的顶点在原点O，始边与，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(,)x y，过过P作作x轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为M；过点；过点(1,0)A作单位圆的切线，它与角作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延的终边或其反向延长线交与点长线交与点T.函函 数数定定 义义 域域值值 域域sinyR 1,1cosyR 1,1tany|,2kkZ RoxyMTPAxyoMTPA资料由四个图看出：由四个图看出：当角当角的终边不在坐标轴上时，有向线段的终边不在坐标轴上时，有向线段,OMx MPy，于是有，于是有sin1yyyMPr，cos1xxxOMr，tanyMPATATxOMOA我们就分别称有向线段我们就分别称有向线段,MP OM AT为正弦线、余弦线、正切线。为正弦线、余弦线、正切线。说明：说明：（1 1）三条有向线段的位置：正弦线为）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在轴的垂直线段；余弦线在x轴上；轴上；正切线在过单位圆与正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。在单位圆内，一条在单位圆外。（2 2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与足；正切线由切点指向与的终边的交点。的终边的交点。（3 3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或轴或y轴同向的为正值，与轴同向的为正值，与x轴或轴或y轴反向的轴反向的为负值。为负值。（4 4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。6 6、利用三角函数线比较下列各组数的大小：、利用三角函数线比较下列各组数的大小：1 1 32sin与与54sin 2 2 32tan与与54tan 解：解：如图可知：如图可知：32sin54sin tantan32 tantan54 oxyMTPAxyoMTPA（）（）（）（）资料1.2.2 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系1 1、由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：1.（1 1）商数关系：）商数关系：consintan （2 2）平方关系：）平方关系：1sin22con2 2、已知已知12sin13，并且，并且是第二象限角，求是第二象限角，求cos,tan,cot 解：解：22sincos1，2222125cos1 sin1()()1313 又又是第二象限角，是第二象限角，cos0，即有，即有5cos13，从而，从而sin12tancos5，15cottan12 3 3、已知、已知cos2sin，求，求cos2sin5cos4sin 4 4、求证：、求证：cos1 sin1 sincosxxxx证法一：由题义知证法一：由题义知cos0 x，所以，所以1 sin0,1 sin0 xx左边左边=2cos(1 sin)cos(1 sin)(1 sin)(1 sin)cosxxxxxxx1 sincosxx右边右边原式成立原式成立证法二：由题义知证法二：由题义知cos0 x，所以，所以1 sin0,1 sin0 xx又又22(1 sin)(1 sin)1 sincoscoscosxxxxxx，cos1 sin1 sincosxxxx证法三：由题义知证法三：由题义知cos0 x，所以，所以1 sin0,1 sin0 xxcos1 sin1 sincosxxxxcoscos(1 sin)(1 sin)(1 sin)cosxxxxxx22cos1 sin0(1 sin)cosxxxx，cos1 sin1 sincosxxxx222sin2sincoscos资料1 3 诱导诱导公式公式1 1、诱导公式（一）、诱导公式（一）tan)360tan(cos)360(cos sin)360sin(kkk诱导公式（二）诱导公式（二）tan)180tan(cos)180cos(sin)180sin(诱导公式（三）诱导公式（三）tan)tan(cos)cos(sin)sin(诱导公式（四）诱导公式（四）sin(sin()=sin)=sin cos(cos()=coscos tantan ()=tantan 诱导公式诱导公式(五五)sin)2cos(cos)2sin(诱导公式（六）诱导公式（六）sin)2cos(cos)2sin(2 2、化简：、化简：.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(3 3、.)3cos(4)3tan(3)sin(2,0cossin,54)sin(的的值值求求且且已已知知 4 4、化简、化简:);2cos()2sin(25sin2cos)1(.)sin()360tan()(cos)2(o2 5 5、.273021cos,sin2 的的两两根根，且且的的方方程程是是关关于于已已知知axxx.)900sin()180cos()6cos()2sin()6tan(的的值值求求 资料1.4.1 正弦、余弦函数的正弦、余弦函数的图图象象1 1、正弦函数正弦函数 y=sinxy=sinx 的图象和余弦函数的图象和余弦函数 y=cosxy=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线2 2、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数正弦函数 y=sinxy=sinx，x0 x0，22的图象中，五个关键点是：的图象中，五个关键点是：(0,0)(0,0)(2,1),1)(,0),0)(23,-1),-1)(2(2,0),0)余弦函数余弦函数 y=cosxy=cosx x x 0,20,2 的五个点关键是哪几个？的五个点关键是哪几个？(0,1)(0,1)(2,0),0)(,-1),-1)(23,0),0)(2(2,1),1)3 3、别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的、别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的 x x 的集合：的集合：1(1)sin;2x 15(2)cos,(0).22xx1.4.2 正弦、余弦函数的性正弦、余弦函数的性质质1 1、奇偶性：、奇偶性：y=cosxy=cosx 是偶函数是偶函数 y=sinxy=sinx 是奇函数。是奇函数。2 2、单调性、单调性正弦函数在每一个闭区间正弦函数在每一个闭区间22 2kk，22 2kk(k kZ)Z)上都是增函数，其值从上都是增函数，其值从1 1 增大到增大到1 1；在每一个闭区间；在每一个闭区间22 2kk，232 2kk(k kZ)Z)上都是减函数，其值从上都是减函数，其值从 1 1 减小到减小到1.1.余弦函数在每一个闭区间余弦函数在每一个闭区间(2(2k k1)1)，2 2kk(k kZ)Z)上都是增函数，其值从上都是增函数，其值从1 1 增加到增加到 1 1；在每一个闭区间在每一个闭区间2 2kk，(2(2k k1)1)(k kZ)Z)上都是减函数，其值从上都是减函数，其值从 1 1 减小到减小到1.1.3 3、有关对称轴、有关对称轴y=cosxy=sinx23456-2-3-4-5-6-6-5-4-3-2-65432-11yx-11oxy资料观察正、余弦函数的图形，可知观察正、余弦函数的图形，可知y=sinxy=sinx 的对称轴为的对称轴为 x=x=2k kZkZ y=cosxy=cosx 的对称轴为的对称轴为 x=x=k kZkZ4 4、判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性 (1)(1)1 sincos();1 sincosxxf xxx (2)(2)2()lg(sin1 sin);f xxx1.4.3 正切函数的性正切函数的性质质与与图图象象1 1、正切函数、正切函数tanyx的定义域是什么？的定义域是什么？zkkxx,2|2 2、Rxxy tan，且，且zkkx2的图象，称的图象，称“正切曲线正切曲线”。3 3、正切函数的性质（、正切函数的性质（1 1）定义域：）定义域：zkkxx,2|；（2 2）值域：）值域：R R 观察：当观察：当x从小于从小于zkk2，2kx时，时，tan x 当当x从大于从大于zkk2，kx2时，时，xtan。（3 3）周期性：）周期性：T；（4 4）奇偶性：由）奇偶性：由xxtantan知，正切函数是奇函数；知，正切函数是奇函数；（5 5）单调性：在开区间）单调性：在开区间zkkk2,2内，函数单调递增。内，函数单调递增。4 4、求下列函数的周期：、求下列函数的周期：（1 1）3tan5yx 答：答：T。（2 2）tan 36yx 答：答：3T。O0232223yyxx 资料说明：函数说明：函数tan0,0yAxA的周期的周期T5 5、求函数、求函数33tanxy的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，解：解：1 1、由、由233kx得得1853kx，所求定义域为，所求定义域为zkkxRxx,1853,|且2 2、值域为、值域为 R R，周期，周期3T，3 3、在区间、在区间zkkk1853,183上是增函数。上是增函数。1.5 函数函数 y=Asin(wx+)(A0，w0)的的图图象象1 1、函数、函数 y y =Asin(wx+Asin(wx+)，(A0(A0，w0)w0)的图像可以看作是先把的图像可以看作是先把 y y =sinxsinx 的图像上所有的点向左的图像上所有的点向左(0)0)或或向右向右(0)0)平移平移|个单位，再把所得各点的横坐标缩短个单位，再把所得各点的横坐标缩短(w1)(w1)或伸长或伸长(0w1)(0w1)(A1)或缩短或缩短(0A1)(0A 0 0，(a a)b b =|a a|b b|cos|cos，(a a b b)=|a a|b b|cos|cos，a a(b b)=|a a|b b|cos|cos，若若 0 0，(a a)b b =|=|a a|b b|cos(|cos()=|a a|b b|(|(coscos)=|a a|b b|cos|cos，(a a b b)=|a a|b b|cos|cos，a a(b b)=|=|a a|b b|cos(|cos()=|a a|b b|(|(coscos)=|a a|b b|cos|cos.3 3分配律分配律：(a a +b b)c c =a a c c +b b c c 在平面内取一点在平面内取一点O O，作作OA=a a，AB=b b，OC=c c，a a +b b （即即OB）在在c c方向上的投影等方向上的投影等于于a a、b b在在c c方向上的投影和方向上的投影和，即即|a a +b b|coscos =|a a|coscos 1 1 +|b b|coscos 2 2|c c|a a +b b|coscos =|=|c c|a a|coscos 1 1 +|c c|b b|coscos 2 2，c c(a a +b b)=c c a a +c c b b 即即：(a a +b b)c c =a a c c +b b c c说明：（说明：（1 1）一般地，）一般地，()（）（2 2），00（3 3）有如下常用性质：）有如下常用性质：，（）（）5 5、已知、已知|a a|=12|=12，|b b|=9|=9，254bavv，求求av与与bv的夹角。的夹角。6 6、已知、已知|a a|=6|=6，|b b|=4|=4，a a与与b b的夹角为的夹角为 6060o o求：（求：（1 1）(a+2b)(a-3b).(a+2b)(a-3b).（2 2）|a a+b b|与与|a a-b b|.|.（利用利用 aaa|）7 7、已知、已知|a a|=3|=3，|b b|=4|=4，且且a a与与b b不共线不共线，k k 为何值时为何值时，向量向量 a+kba+kb 与与 a-kba-kb 互相垂直互相垂直.2.4.2 平面向量数量平面向量数量积积的坐的坐标标表示、模、表示、模、夹夹角角1 1、平面两向量数量积的坐标表示、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即即ba2121yyxx2 2、平面内两点间的距离公式、平面内两点间的距离公式资料 （1 1）设）设),(yxa，则，则222|yxa或或22|yxa.（2 2）如果表示向量）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，那么那么221221)()(|yyxxa(平面内两点间的距离公式平面内两点间的距离公式)3 3、向量垂直的判定向量垂直的判定设设),(11yxa，),(22yxb，则，则ba 02121yyxx4 4、两向量夹角的余弦（两向量夹角的余弦（0）cocos s =|baba222221212121yxyxyyxx5 5、已知、已知a a（，（，3），b b（3，3），则，则a a与与b b的夹角是多少的夹角是多少?分析：为求分析：为求a a与与b b夹角，需先求夹角，需先求a ab b及及a ab b，再结合夹角，再结合夹角的范围确定其值的范围确定其值.解：由解：由a a（，（，3），b b（3，3）有有a ab b33（3），），a a，b b2记记a a与与b b的夹角为的夹角为，则，则22baba 又又，4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.6 6、在在ABCABC中，中，AB=(2=(2，3)3)，AC=(1=(1，k k)，且，且ABCABC的一个内角为直角，求的一个内角为直角，求k k值值.解：解：当当A A =9090 时，时，AB AC=0 0，2121 +3+3k k =0 0 k k =23 当当B B =9090 时，时，AB BC=0 0，BC=AC AB=(1(1 2 2，k k 3)3)=(1 1，k k 3)3)2(2(1)1)+3(+3(k k 3)3)=0 0 k k =311 资料当当C C =9090 时，时，AC BC=0 0，1 1 +k k(k k 3)3)=0 0 k k =2133 2.5.1 平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法例例 1.1.已知已知ACAC为为O O的一条直径，的一条直径，ABCABC为圆周角为圆周角.求证：求证：ABCABC9090o o.证明：设证明：设,OCaAO ,bOB ,ba ,baOBAOAB ,baBC ,0)()(22 bababaBCAB,BCAB oABC90 2.5.2 向量在物理中的向量在物理中的应应用用举举例例1 1、如图，一条河的两岸平行，河的宽度、如图，一条河的两岸平行，河的宽度d d500500 m m，一艘船从，一艘船从A A处出发到河对岸处出发到河对岸.已知船的速度已知船的速度|1v|1010 km/hkm/h，水流速度，水流速度|2v|2 2 km/hkm/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到 0.10.1 minmin）？）？ABOC资料资料第三章：三角恒等第三章：三角恒等变换变换3.1.1 两角差的余弦公式两角差的余弦公式1 1、两角和差的余弦公式：、两角和差的余弦公式：cos()coscossinsinm2 2、利用和、差角余弦公式求、利用和、差角余弦公式求cos75o、cos15o的值的值.解：分析：把解：分析：把75o、15o构造成两个特殊角的和、差构造成两个特殊角的和、差.232162cos75cos 4530cos45 cos30sin45 sin3022224ooooooo 232162cos15cos 4530cos45 cos30sin45 sin3022224ooooooo3 3、已知、已知4sin5，5,cos,213 是第三象限角，求是第三象限角，求cos的值的值.解：因为解：因为,2，4sin5由此得由此得2243cos1 sin155 又因为又因为5cos,13 是第三象限角，所以是第三象限角，所以22512sin1 cos11313 所以所以3541233cos()coscossinsin51351365 资料3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）1 1、sincoscoscoscossinsin2222 sincoscossinsinsinsincoscossinsincoscossin 2 2、sinsincoscossintancoscoscossinsintantantantantantan1tantan1tantan 3 3、已知、已知21tan,tan,544求求tan4的值的值（322）4 4、利用和（差）角公式计算下列各式的值：、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1 1）、sin72 cos42cos72 sin42oooo；（；（2 2）、cos20 cos70sin20 sin70oooo；（；（3 3）、1tan151tan15oo解：（解：（1 1）、1sin72 cos42cos72 sin42sin 7242sin302ooooooo；（2 2）、cos20 cos70sin20 sin70cos 2070cos900ooooooo；（3 3）、1tan15tan45tan15tan 4515tan6031tan151tan45 tan15ooooooooo资料3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）1 1、化简、化简2cos6sinxx解：解：132cos6sin2 2cossin2 2 sin30 coscos30 sin2 2sin 3022xxxxxxxooo2 2、归纳：、归纳：bababatan)sin(cossin223 3、已知：函数、已知：函数Rxxxxf,cos32sin2)(（1 1）求求)(xf的最值。的最值。（2 2）求）求)(xf的周期、单调性。的周期、单调性。4 4、已知、已知 A A、B B、C C 为为ABCABC 的三內角，向量的三內角，向量)3,1(mv，)sin,(cosAAn v，且，且1nmrv，（1 1）求角求角 A A。（2 2）若）若3sincoscossin2122BBBB，求，求 tanCtanC 的值。的值。3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式二倍角的正弦、余弦和正切公式1 1、sin2sinsincoscossin2sincos；22222cos2cossin1 sinsin1 2sin ；22222cos2cossincos(1 cos)2cos12tantan2tantan2tan1tantan1tan资料注意：注意：2,22kk kz2 2、已知、已知5sin2,13 42求求sin4,cos4,tan4的值的值解：由解：由,42得得22又因为又因为5sin2,1322512cos21 sin 211313 于是于是512120sin42sin2 cos221313169 ；225119cos41 2sin 21 213169 ；120sin4120169tan4119cos4119169 3 3、在、在ABCABC 中，中，54cosA，。BAB的值求)22tan(,2tan4 4、已知、已知1tan2,3求求tan的值的值解：解：22tan1tan21tan3，由此得，由此得2tan6tan10 解得解得tan25 或或tan25 5 5、已知、已知的值求)2tan(,31tan,71tan3.2 简单简单的三角恒等的三角恒等变换变换1 1、试以、试以cos表示表示222sin,cos,tan222资料解：我们可以通过二倍角解：我们可以通过二倍角2cos2cos12和和2cos1 2sin2 来做此题来做此题因为因为2cos1 2sin2，可以得到，可以得到21 cossin22；因为因为2cos2cos12，可以得到，可以得到21 coscos22又因为又因为222sin1 cos2tan21 coscos22 2、已知、已知135sin，且，且在第二象限，求在第二象限，求2tan的值。的值。3 3、求证：、求证：（）（）、1sincossinsin2；（）（）、sinsin2sincos22证明：（）因为证明：（）因为sin和和sin是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手sinsincoscossin；sinsincoscossin两式相加得两式相加得2sincossinsin；即即1sincossinsin2；（）由（）得（）由（）得sinsin2sincos；设；设,，那么那么,22把把,的值代入的值代入式中得式中得sinsin2sincos224、.54sin,20一一 一一一2coscos2sinsin)1(22；一一一)45tan()2(资料解：（1）由,54sin,20得,53cos.201cos3cossin2sin2coscos2sinsin2222（2）.71tan11tan)45tan(,34cossintanQ5、.10tan3150sin一一一一一一一一一一解：一一一一10cos10sin3150sin 10cos)10sin2310cos21(250sin 10cos10sin30cos10cos30sin50sin2 10cos40sin40cos2 110cos10cos10cos80sin.6、已知函数、已知函数xxxxxf44sincossin2cos)(（1）求求)(xf的最小正周期，的最小正周期，（2）当）当2,0 x时，求时，求)(xf的最小值及取得最小值时的最小值及取得最小值时x的集合的集合7 7、把一段半径为、把一段半径为 R R 的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边与角为自变量）与角为自变量）解：（解：（1 1）如图，设矩形长为）如图，设矩形长为l l，则面积，则面积224lRlS，所以所以,4)()4(22222222lRllRlS当且仅当当且仅当,224222RRl即即Rl2时，时，2S取得最大值取得最大值44R，此时，此时S S取得最大值取得最大值22R，矩形的宽为，矩形的宽为RRR2222即长、宽相等，矩形为圆内接正方形即长、宽相等，矩形为圆内接正方形.（2 2）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为，矩形长与宽分别为，矩形长与宽分别为sin2R、cos2R，所以面积，所以面积2sin2sin2cos22RRRS.而而12sin，所以，所以22RS，当且仅当，当且仅当12sin时，时，S S取最大值取最大值22R，所以当且仅当，所以当且仅当 902即即资料 45时，时，S S取最大值，此时矩形为内接正方形取最大值，此时矩形为内接正方形.8 8、已知半径为、已知半径为 1 1 的半圆，的半圆，PQRSPQRS是半圆的内接矩形如图，问是半圆的内接矩形如图，问P P点在什么位置时，矩形的面积最大，点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积时的值并求最大面积时的值解：设解：设,SOP则则,cos,sinOSSP故故 S S四边形四边形PQRSPQRS2sincos2sin故故为为45时，时，1maxSPQRSO