高中数学常用公式及知识点(北师大版必修1-必修5及选修2-1).pdf

实用文档文案大全北 师 大 版 教 材高 中 数 学常用公式及知识点记忆检测（必修1 必修5 及选修2-1）实用文档文案大全目 录必 修1 3必 修2 7必 修3 10必 修4 13必 修5 18选 秀2-1 22后 记28实用文档文案大全必 修1 集 合 1.集合的基本运算；2.集合的包含关系:；3.识记重要结论：;ABAIABABAABU;UUUABCCAC BUIUUUABCCAC BIU4对常用集合的元素的认识中的元素是方程的解，即方程的解集；2340Ax xx2340 xxA实用文档文案大全中的元素是不等式的解，即不等式的解集；260Bx xx260 xxB中的元素是函数的函数值，221,05Cy yxxx221,05yxxx即函数的值域；C中的元素是函数的自变量，即函22log21Dx yxx22log21yxxD数的定义域；中的元素可看成是关于的方程的解集，也可看成以方程,23Mx yyx,x y的解为坐标的点，为点的集合，是一条直线。23yxM5.集合的子集个数共有 个；真子集有1 个；非空子集有1 个；12,na aaL2n2n2n非空的真子集有2 个.2n6.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者的一0)(xf),(21kk0)()(21kfkf个必要而不是充分条件.特别地,方程有且只有一个实根在)0(02acbxax内,等价于,或且,或且),(21kk0)()(21kfkf0)(1kf22211kkabk0)(2kf.22122kabkk7.闭区间上的二次函数的最值问题：二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的)0()(2acbxaxxfqp,abx2两端点处取得，具体如下：(1)当 a0 时，若，则qpabx,2；minmax()(),()max(),()2bf xff xf pf qa，qpabx,2max()max(),()f xf pf q.min()min(),()f xf pf q(2)当 a0 和 x0 和 x0)或向右(0)或向下(b0)移b单位图象 yf xb实用文档文案大全设函数,记.若的定义域为,则)0)(log)(2acbxaxxfmacb42)(xfR，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.0a0)(xfR0a00a；18.对数函数的图像和性质分析：log0,1ayx aa的符号a1a 01a图像定义域0,值域,单调性在(0,+)上是增函数在(0,+)上是减函数过定点1,0函数值的分布情况时，；01x0y 时，1x 0y 时，；01x0y 时，1x 0y 指数函数的图像和性质分析：0,1xyaaa的符号a1a 01a图像1yxo1o1x1y定义域,值域0,单调性在上是增函数,在上是减函数,过定点0,1函数值的分布情况时，；0 x 1y 时，0 x 01y时，；0 x 01y时，0 x 1y 19.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有pxy.(1)xyNp y x o 1 1xyo1实用文档文案大全必 修2 立 体 几 何 初 步1.常用公理和定理公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行垂直于同一个平面的两条直线平行两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直2.三余弦定理（最小角定理:立平斜公式）设 AB 与平面 所成的角为,AC 是 内的任一条1直线，且 AC 与 AB 的射影 AB/所成的角为，2AB/与 AC 所成的角为则.如右图。12coscoscos3.面积射影定理:.(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面SSABCBcosSSABCB图实用文档文案大全所成锐二面角的为).如图。4.已知：长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为，因此有；若长方体的体对角、222coscoscos1线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为，则有、。（线线面12）222coscoscos25棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比）6球的半径是 R，则其体积,其表面积343VR；球的半径（R），截面圆半径（），球24SRr心到截面的距离为（）构成直角三角形，因而有关d系：，它们是计算球的关键所在，如图.22rRd7.球的组合体 (1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.8柱体、锥体的体积（是柱体的底面积、是柱体的高）;（是锥体的底面积、13VSh柱体Sh13VSh锥体S是锥体的高）.h 解 析 几 何 初 步1.斜率公式（、）；直线的2121yykxx111(,)P x y22212(,),P xyxxtan2 ykxb一个方向向量为1,k2.直线的五种方程（1）点斜式 (直线 过点，且斜率为)11()yyk xxl111(,)P x yk（2）斜截式(b 为直线 在 y 轴上的截距).ykxbl（3）两点式()(、().112121yyxxyyxx12yy111(,)P x y222(,)P xy12xx(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)1xyabab、0ab、RPdrOO一般两点斜截距图图实用文档文案大全（5）一般式(其中 A、B 不同时为 0).0AxByC3.两条直线的平行和垂直(1)若，则有111:lyk xb222:lyk xb;.121212|,llkk bb12121llk k(2)若,且 A1、A2、B1、B2都不为零,1111:0lAxB yC2222:0lA xB yC；11112222|ABCllABC1212120llA AB B（3）直线:中，若,则 垂直于轴；若,则 垂l0AxByC0,0ABly0,0ABl直于轴。x4四种常用直线系（具有共同特征的一族直线）方程(1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线000(,)P xy00()yyk xx),其中是待定的系数;经过定点的直线系方程为0 xxk000(,)P xy,其中是待定的系数00()()0A xxB yy,A B(2)共点直线系方程：经过两直线,的交点的直1111:0lAxB yC2222:0lA xB yC线系方程为(除)，其中 是待定的系数111222()()0AxB yCA xB yC2l(3)平行直线系方程：直线中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方ykxb程与直线平行的直线系方程是()，是参变0AxByC0AxBy0量(4)垂直直线系方程：与直线(A0，B0)垂直的直线系方程是0AxByC,是参变量0BxAy5.点到直线的距离(点,直线：).0022|AxByCdAB00(,)P xyl0AxByC6.圆的三种方程（1）圆的标准方程；（2）圆的一般方程 222()()xaybr(0).（3）圆的直径式方程 220 xyDxEyF224DEF(圆的直径的端点是、).1212()()()()0 xxxxyyyy11(,)A x y22(,)B x y7.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种若00(,)P xy222)()(rbyax，则点在圆外;点在圆上;点2200()()daxbydrPdrPdr在圆内.P8.直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有0CByAx222)()(rbyax三种:;.其中0事事rd0事事rd0事事rd.22BACBbAad9.两圆位置关系的判定方法：设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，dOO21;事事事事事事421rrd事事事事事事321rrd有谁垂（吹）谁实用文档文案大全;事事事事事事22121rrdrr事事事事事事121rrd.事事事事事事210rrd10.圆的切线方程：已知圆过圆上的点的切线方程为222xyr000(,)P xy;200 x xy yr11.空间直角坐标系中点的坐标及距离公式：3.设 A，B，则111(,)x y z222(,)xyz.2222212121ABABOBOAxxyyzzuuu u ruuu ruu u r必 修 三 统 计1.1.抽样方法主要有：简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一个；分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。每层样本数量与每层个体数量的比与样本容量与总体容量的比相等或相近。即：或者 kknnNN2.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较类 别共同点各自特点联 系适 用范 围简 单随 机（1）抽样过程中每个个从总体中逐个抽取总体个数较少每部分抽取的个体数样本容量该部分的个体总数总体中的个体数实用文档文案大全抽 样将总体均分成几部 分，按预先制定的规则在各部分抽取在起始部分样时采用简随机抽样总体个数较多系 统抽 样分 层抽 样体被抽到的可能性相等（2）每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样将总体分成几层，分层进行抽取分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成3.总体分布的估计：用样本估计总体的方法就是把样本的频率作为总体的概率。一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图.4.用样本的数字特征估计总体的数字特征中位数：算出来可避免极端数据，代表着数据总体的中等情况。（如果总数个数是奇数的话,按从小到大的顺序,取中间的那个数；如果总数个数是偶数个的话,按从小到大的顺序,取中间那两个数的平均数）众数：一般来说，一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数。例如：1，2，3，3，4 的众数是 3。但是，如果有两个或两个以上个数出现次数都是最多的，那么这几个数都是这组数据的众数。例如：1，2，2，3，3，4 的众数是 2 和 3。还有，如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据没有众数。例如：1，2，3，4，5 没有众数。样本平均数：；123.nxxxxxn样本方差：；222221231.nsxxxxxxxxn实用文档文案大全样本数据 x1,x2,xn的标准差 222121()()()nSxxxxxxnL5.回归直线必过样本平均点，其中为斜率，如，则变量每增 ybxa,x yb0b x加 1 个单位时，变量平均减少 1 个单位；线性回归方程方程为系数公式:y ybxa,。1221niiiniix ynx ybxnxgaybx 算 法 初 步1.1.画出计算的程序框图，如图；2222246100 对图，若输入，则执行程序后输出 y 的值为:_12开始s=0i=2s=s+i2i=i+2i1输出 y结束N输入 yYy=4xx1NY图 某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中 4位居民的月均用水量分别为:(单位：14,xx开始S1=0,i=111ssii=4输出 S结束是否图输入14,xxS1=S1+xii=i+1开始S=0,k=111ssk kk11输出 s结束是否图1ii 实用文档文案大全吨)。根据如图所示的程序框图，若分别为 1，1234,x x x x1.5，1.5，2，则输出的结果 s 为_.如果执行下面的程序框图，如图，输入N=5,则输出的数等于_；阅读下面的程序框图，运行相应的程序后，则输出 S 的值为_.概 率1.等可能性事件的概率：=（古典概率公式）()mP An2.2.P（A）=（几何概率公式）积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A必 修4 三 角 函 数1终边相同的角的集合：;2,kkZ 角度与弧度的换算：；180180,1,1180radradradooo弧长与扇形的面积公式：弧长，扇形面积.lr21122Slrr常见三角不等式若，则；若，则；(0,)2xsintanxxx(0,)2x1sincos2xxnmA事事事事事事事事事事事事事事事事事事事实用文档文案大全.|sin|cos|1xx2.常用三角函数不等式及相关等式的解集：的集合是sincosxxx；322,44xkxkkZ的集合是sincosxxx；,4x xkkZ的集合是sincosxxx。322,44xkxkkZ 的集合sincosxxx是；3,44xkxkkZ的集合是sincosxxx；3,44x xkorxkkZ的集合是。sincosxxx,44xkxkkZ3.对于“”三个式子，已知其中任意一个式子sincos,sincos,sincos的值，可求出其余二式的值。三角函数的诱导公式:“奇变偶不变，符号看象限，”形似角中的角不论多大，都看作锐角；形似角在原名称、原象限中的符号作为等式右边的符号；000000003603602702709090)-180180000000000900904904903903901901)-902902,)sin(,)360sin(,)360sin(,)270sin(,)270sin(,)90sin(,)90sin(,)-180sin(,)180sin(00000000sinsincoscos注意：总共两套诱导公式（一套是函数名不变；另一套是函数名必须改变）；对于余弦函数和正切函数的诱导公式规律记忆同正弦函数。Oy225终 终 终45终 终 终x半个月亮爬上来O135终 终 终45终 终 终yx所谓伊人 在水一方实用文档文案大全4.三角函数的周期公式 函数，xR 及函数，xR(A,为常数，且sin()yAxcos()yAxA0，0)的周期；函数，(A,2Ttan()yAx,2xkkZ为常数，且 A0，0)的周期.T5.类正弦函数的图像的变换：两种办法殊途同归。y=Asin(wx+)coscossinsinsin作 y=sinx（长度为 2的某闭区间）的图像得 y=sin(x+)的图像得 y=sinx 的图像得 y=sin(x+)的图像得 y=sin(x+)的图像得的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到Ry=Asin(wx+)上。沿 x 轴平移|个单位（左加右减）横坐标伸长或 缩短到原来的 倍横坐标伸长或缩 短到原来的 倍沿 x 轴平移|个单位（左加右减）纵坐标伸长或缩 短到原来的 A 倍纵坐标伸长或缩 短到原来的 A 倍11实用文档文案大全类正弦函数的参数计算：振幅，0y=Asin(wx+)b Amaxmin2yyA。maxmin2yyb注意：对于类余弦函数也有以上相应的结论。cosyAx7.正弦函数和余弦函数的图像和性质函数y=sinxcosy=x图像-11y=sinx-223/2/2-3/2-/2oyx-11y=cosx-223/2/2-3/2-/2oyx定义域R值域1,1最值时，2,2xkkZmax1y时，2,2xkkZ min1y 时，2,xkkZmax1y时，21,xkkZmin1y 单调性 2,222xkkkZ 32,222xkkkZ时，减函数2,21xkkkZ时，增函数21,2,xkkkZ时，增函数时，减函数实用文档文案大全奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期为2对称性对称轴：,2xkkZ对称中心：(,0)kkZ 对称轴：,xkkZ对称中心：(,0)2kkZ 8.正切函数的图像和性质函数tanyx实用文档文案大全图像2.521.510.50.511.522.543211234xy32=4.7132=4.712=1.572=1.57f x =tan x O 定义域2xkkZ值域R单调性,22xkkkZ 奇偶性奇函数周期性最小正周期为对称性对称中心：(,0)2kkZ 平 面 向 量1.向量的加减法的代数结构：ABBCACuuu ruuu ruuu r OBOAABuuu ruu u ruuu r2.平面向量基本定理 如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 1、2，使得 a=1e1+2e2（不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底）3向量平行与垂直的坐标表示 设=,=，且，则()；ar11(,)x ybr22(,)xybr0rarbr0b rr12210 x yx yabrr.12120 x xy y4.a与 b 的数量积(或内积)：ab=|a|b|cos其几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积5.平面向量的坐标运算(1)设 a=,b=，则 a+b=；(2)设 a=,b=，11(,)x y22(,)xy1212(,)xxyy11(,)x y22(,)xy则 a-b=；(3)设 A，B,则1212(,)xxyy11(,)x y22(,)xy；(4)设 a=，则a=；(5)设 a=2121(,)ABOBOAxx yyuuu ruuu ruu u r(,),x yR(,)xy,b=，则 ab=.11(,)x y22(,)xy1212x xy y6.两向量的夹角公式：(a=,b=).121222221122cosx xy yxyxy11(,)x y22(,)xy时，增函数尾首接 首尾联首首接 尾尾联 指向被减向量实用文档文案大全7.平面两点间的距离公式：=(A，B).,A Bd|ABAB ABuuu ruuu r uuu r222121()()xxyy11(,)x y22(,)xy8.线段的定比分公式：设，是线段的分点,是实数，且，则111(,)P x y222(,)P xy(,)P x y12PP12PPPPuuu ruuu r（）.121211xxxyyy121OPOPOPuuu ruuu ruuu r12(1)OPtOPt OPuuu ruuu ruuu r11t中点的向量形式：平面内，设线段的中点为，为直线外任意一点，则ABCOAB有;2OAOBOCuu u ruuu ruuu r设此时，则中点的坐标公式：1122,A x yB xy,C x y121222xxxyyy9.三角形的重心坐标公式：ABC 三个顶点的坐标分别为、11A(x,y)22B(x,y),则ABC 的重心的坐标是.33C(x,y)123123(,)33xxxyyyG10.三角形四“心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则OABC,A B C,a b c（1）为的外心.OABC222OAOBOCuu u ruuu ruuu r（2）为的重心.OABC0OAOBOCuu u ruuu ruuu rr（3）为的垂心.OABCOA OBOB OCOC OAuu u r uuu ruuu r uuu ruuu r uu u r（4）为的内心.OABC0aOAbOBcOCuu u ruuu ruuu rr 三 角 恒 等 变 换1.同角三角函数的基本关系式：，=22sincos1tancossin推论：；222211costan11tancos（正负号取决于所在的象限）2211os,tan11tancosc 2.和角与差角公式 ;sin()sincoscossincos()coscossinsinm；tantantan()1tantanm(正弦平方差公式);=22sin()sin()sinsinsincosab实用文档文案大全(辅助角所在象限由点所在的象限来决定,且).22sin()ab(,)a btanba3.二倍角公式：；sin2sincos2222cos2cossin2cos11 2sin 万能公式：；22tantan21tan；221tancos21tan22tansin21tan4.半角公式（降幂公式）：；21 coscos2221 cossin2221 costan21 cossin1 costan21 cossin必 修5 数 列1.自然数和公式：；1122n nn222121126n nnn223331124nnn常见的拆项公式：；11111n nnn111121212 2121nnnn；1111122112n nnn nnn11ababab.12nnnaSSn数列的通项公式与前 n 项的和的关系 （注：该公式对任意数列都适用）11,1,2nnnsnassn1(2)nnnSSa n （注：该公式对任意数列都适用）12nnSaaaL2.等差数列的通项公式：一般式：；推广形式：*1(1)()naand nN辅助直角三角形2实用文档文案大全；前项和形式（注：该公式对()nmaanm dnmaandmn1(2)nnnaSSn任意数列都适用）前 n 项和公式为：.1()2nnn aas1(1)2n nnad(1)2nn nnad211()22dnad n 数列为等差数列（，为常数）na1nnaad*nNd2112=2,*nnnnaaannNaanbAnBn 常用性质：若 m+n=p+q，则有 ；特别地：若的等mnpqaaaa,mnpaa a是差中项，则有 2n、m、p 成等差数列；等差数列的“间隔相等的连续mnpaaa等长片断和序列”（如，）仍是等差数列；123,aaa456,aaa789aaa为等差数列，为其前 n 项和，则，也成等 nanS232,mmmmmSSSSS43mmSS差数列；1+2+3+n=,0pqp qaq apa则2)1(nn3.等比数列的通项公式：一般形式：；推广形式：1*11()nnnaaa qqnNq，（视的奇数或偶数等来开方得到的值）n mnmaaqn mnmaqanmq前项和形式（注：该公式对任意数列都适用）n1(2)nnnaSSn前 n 项的和公式为：，或.11(1),11,1nnaqqsqna q11,11,1nnaa qqqsna q数列为等比数列 na211111,002,nnnnnnnaq nNqaaannNaa qa1aq0nN*、，nnSA qB 常用性质：若 m+n=p+q，则有 ；特别地：若的等比mnpqaaaa,mnpaa a是中项，则有 n、m、p 成等比数列;等比数列的“间隔相等的连续等长片2mnpaaa断和序列”（如，）仍是等比数列；为等123,aaa456,aaa789aaa na比数列，为其前 n 项和，则，也成等比数列nS232,mmmmmSSSSS43mmSS实用文档文案大全（当或者且不是偶数时候成立）；设等比数列的前项积为，则1q 1q m nbnnT，成等比数列kT232,kkkkTTTT43kkTT 解 三 角 形1.正弦定理：.（R 为外接圆的半径，也是外接圆半2sinsinsinabcRABCABC径的一种算法。）.2 sin,2 sin,2 sinaRA bRB cRC:sin:sin:sina b cABC，等；2sinsinsinabcRABCsinsinAabBsinsinCcaAsinsinBbcC，2sinsinsinabcRABCsinsinaABbsinsincCAa等；sinsinbBCc余弦定理;2222cosabcbcA222cos2bcaAbc;2222cosbcacaB222cos2acbBac.2222coscababC222cos2abcCab正弦定理和余弦定理的应用解题常与三角形内角和定理相伴。解题时注意一种重要关系：在中，给定角的正弦或余弦值，则角的正弦或余弦有解（即存在）ABCAB、Ccoscos0AB2.三角形内角和定理：在ABC 中，有()ABCCAB222CAB222()CAB3.面积定理（1）（分别表示 a、b、c 边上的高）.111222abcSahbhchabchhh、（2）111sinsinsin222SabCbcAcaB(3)(其中为的外接2222sinsin2sinsin2sinsinABCSRABRACRCBRABC圆的半径)（R 为外接圆的半径，也是外接圆半径的一种算法。）4ABCabcSRABC(其中为的内切圆的半径，也能导出内切圆半径的一12ABCSrabc rABC地位相同等号两边实用文档文案大全种算法。顺便说下，直角三角形中内切圆的半径，其中为两条直角边，2abcrab、为斜边。)c(其中，海伦公式)ABCSppapbpc2abcp（注意：此时以坐标原点O为一个顶点的三221(|)()2OABSOAOBOA OBuu u ruuu ruu u r uuu r角形的面积公式）；设，则1122,A x yB xy122112AOBSx yx y 不 等 式1.常用不等式：重要不等式：(当且仅当 ab 时取“=”号)；,a bR222abab均值不等式：(当且仅当 ab 时取“=”号)；,a bR2abab三角形不等式：（对于时，当同号时右边取等号，bababa0ab ab当异号时左边取等号；对于时，易判断等号成立的条件）；ab0ab（对于时，当同号时左边取等号，当异号时右边取ababab0ab abab等号；对于时，易判断等号成立的条件+）0ab 2.极值定理已知都是正数，则有yx,（1）若积是定值，则当时和有最小值；xypyx yx p2（2）若和是定值，则当时积有最大值.yx syx xy241s推广形式：已知，则有Ryx,xyyxyx2)()(22（1）若积是定值,则当最大时,最大；当最小时,最xy|yx|yx|yx|yx 小.（2）若和是定值,则当最大时,最小；当最小时,最|yx|yx|xy|yx|xy大.3.一元二次不等式，如果与20(0)axbxc或2(0,40)abac a同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之2axbxca2axbxc间.简言之：同号两根外，异号两根间.；121212()()0()xxxxxxxxx.121212,()()0()xxxxxxxxxx或简单的高次不等式的解法：数轴标根法（穿针引线法）。注意重因式的处理，奇次重根一次穿过，偶次重根穿而不过。例如：，如图 从 2331150 xxxx图中易知解集为对于0a 的情形“大射线小线段”“积定和最小 和定积最大”“一定二正三相等”-3-115-实用文档文案大全 ,33,11,5 UU4.含有绝对值的不等式，当 a 0 时，有；或22xaxaaxa 22xaxaxaxa 5.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：，；|abab,a bR6.或(其中 A、B 不同时为 0).所表示的平面区域0AxByC0设直线，则或所表示的平面区域是：:0l AxByC0AxByC0若,则用原点试，结果适合不等式，表示原点所在的平面区域就是。否0C 0,0O则，边界的另一区域才是；若，则用点或者试，方法同上。0C 1,00,1选 修2-1 常 用 逻 辑 用 语1.真值表（表 1）非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假 12.四种命题的相互关系如下图所示原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个n至多有（）个1n小于不小于至多有个n至少有（）个1n对所有，成立x存在某，不成x立或pq且pq对任何，不成立x存在某，成立x且pq或pq大射线 小线段原命题“”pq若则逆命题“qp若则”否命题“pq若则”逆否命题“”qp若则互逆互逆互否互否为互逆否互为逆否同真为真同假为假真假相对2.常见结论的否定形式（见表 2）是 0，（0，1）、（1，0）试非 0，（0、0）试实用文档文案大全13.充要条件（1）若，则说是的充分条件，同时是的必要条件pqpqqp（2）充要条件：若，且，则是的充要条件.pqqppq另外：如果条件最终都可化为数字范围，则可转化为集合的包含关系来刻画，二者逻辑关系一目了然。设，Ax p x Bx q x 若，则是的充分不必要条件；A Bpq 若,则是的必要不充分条件；若，则是的充要条件。B ApqABpq 空 间 向 量 与 立 体 几 何1.空间向量的直角坐标运算律（1）若，123(,)aa a ar，；123(,)bb b br112233/,()abab ab abRrr 。00212121zzyyxxbaba夹角：(规定：)1 1223 3222222123123cos|aba ba ba ba babaaabbbr rr rrrba,0模长公式：，222123|aa aaaarr r222123|bb bbbbrr r一个命题一种形式两样说法交换位置 同时否定小充分 大必要 等充要实用文档文案大全DClAB2.若，如下图，则.111(,)A x y z222(,)B xyz212121(,)ABxx yy zzuuu r3.直线的方向向量：我们把直线 上的向量以及le与共线的向量叫做直线 的方向向量.el4.平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面 n则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面 的法向量。nnn5.用向量描述空间线面关系：设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面21,ll21,ee的法向量分别为，则由如下结论21,21,nn空间线面关系平 行垂 直与1l2l21/ee21ee 与1l111ne 11/ne与1221/nn21nn 6.法向量在求面面角中的应用：原理：一个二面角的平面角1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角2相等或互补。7.法向量在求线面角中的应用：原理：设平面的斜线l与平面所的角为1，斜线l与平面的法向量所成角2，则1与2互余或与2的补角互余。8.利用向量求二面角的大小。方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）如图：二面角-l-的大小为，A，Bl，AC，BD,ACl，BDl 则=ACBDCADBykiykiB(b1,b2,b3)A(a1,a2,a3)O Ojxzjxza3a2a1实用文档文案大全lPOA方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角。如右图：已知二面角-l-，在 内取一点 P，过 P 作 PO，及 PAl,连AO，则AOl 成立，PAO 就是二面角的平面角 用向量可求出|PA|及|PO|，然后解三角形 PAO 求出PAO。方法三：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的补角。如右图 P 为二面角-l-内一点，作 PA，PB，则APB与二面角的平面角互补。圆圆圆 锥锥锥 曲曲曲 线线线 与与与 方方方 程程程1.椭圆定义：；120212MFMFa 2a|F F|（）（即，注意）2221111FBOFOB222cba11Rt FOB 设是椭圆上任意一点，且，则有P12FPF.22212122cos2PFPFPFPFc下表是椭圆的标准方程及几何性质。标准方程22221(0)xyabab22221(0)xyabbaPAB实用文档文案大全（1）椭圆焦半径公式：，22221(0)xyabab21()aPFexcaex；)(22xcaePFaex（2）椭圆的的内外部：点在椭圆的内部；00(,)P xy22221(0)xyabab2200221xyab点在椭圆的外部；00(,)P xy22221(0)xyabab2200221xyab椭圆与直线相切的条件是.22221(0)xyabab0AxByC22222A aB bC图形xyF1F2OA1A21B21B1范围|x|a,|y|b|x|b,|y|a对称性关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称顶点坐标 0,0ba、，00ba，、，焦点坐标0c，0c，半长轴长半轴椭长为，短半轴长为ab焦距焦距为 2cabc、关系222abc离心率 cea22211bbeoreaa 分母较大者的分子是谁，焦点就在谁轴上F1F2yxOB1实用文档文案大全2.双曲线定义：，（即，1212 MF|-|MF =2a 2a|F F|02221111AOOBAB222cba注意，其中为同一象限内的实顶点、虚顶点，为坐标原点。）设11Rt AOB11AB、O是双曲线上任意一点，且，则有M12FMF设是双曲线上任意一点，有 22212122cos2MFMFMFMFcP（当且仅当点落在顶点时取到等号。）122PFPFaP下表是其标准方程及几何意义。(1)双曲线的焦半径公式：，22221(0,0)xyabab21|()|aPFe xc标准方程22221(0)xyabab、22221(0)yxabab、图形范围或者xaxa 或者yaya 对称性关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称顶点坐标0a，0a，焦点坐标0c，0c，半长轴实半轴长为，虚半轴长为ab焦距焦距为 2c关abc、系222acb离心率 cea22211bbeoreaa渐近线byxa ayxb 平方项为正者的分子是谁，焦点就在谁轴上 xyF2 2F1 1MyxoF2 2F1 1M实用文档文案大全;22|()|aPFexc(2)双曲线的内外部：点在双曲线的内部；00(,)P xy22221(0,0)xyabab2200221xyab点在双曲线的外部;00(,)P xy22221(0,0)xyabab2200221xyab双曲线与直线相切的条件是.22221(0,0)xyabab0AxByC22222A aB bc3.抛物线的焦点弦（过焦点的弦）为，则022ppxyAB1122,A x yB xy有如下结论：焦半径公式：；焦点弦长12pAFx；通径长为；，.pxxpxpxAB2121222p212y yp 2124px x 抛物线的内外部：点在抛物线的内部；00(,)P xy22(0)ypx p22(0)ypx poo点在抛物线的外部；00(,)P xy22(0)ypx p22(0)ypx poo抛物线上的动点可设为 P，可简化计算。pxy220p),2(2ooypy 抛物线的切线方程：抛物线上一点处的切线方程是；pxy2200(,)P xy00()y yp xx抛物线与直线相切的条件是.22(0)ypx p0AxByC22pBAC.抛物线：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点轨迹。下表是其标准方程及图形方程焦点准线图形22ypx0p F,02p2px OFxy220ypx p F,02p2px OFxy22xpy0p F0,2p2py OFyx220 xpy p F0,2p2py OFyx4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 221212()()ABxxyy或2222112(1)()1|ABkxxkxx四大方程 四条规律：一次项是啥，对称轴是对称轴是啥轴；一次项系数的正负，代表开口方向开口方向的上下或右左；焦点坐标焦点坐标一个是 0，另一非 0，且刚好是 一次项系数的；14准线方程准线方程的数值刚好是焦点的非 0 坐标的相反数。实用文档文案大全22121212211()41|kxxx xyyk（弦端点 A，由方程 消去 y 得到，),(),(2211yxByx0)y,x(Fbkxy02cbxax,为直线的斜率）;0 k中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为；221AxBy处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设 A为椭),(),(2211yxByx圆上不同两点，是中点，则；对于22221(0)