高中数学考试必备的知识点整理.pdf

1高中数学考试必备的知识点整理温馨提示：在复习的同时，也要结合课本上的例题去复习，在复习的同时，也要结合课本上的例题去复习，重点是课本，而不是题目应该怎样去做，所以在考前的一天必须回归课本复习，心中无公式，是解不出任何题目来的，只要心中有公式，中等的题目都可以解决。必修一：一、集合的运算：交集：定义：由集合 A 和集合 B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为ABI并集：定义：由属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合叫并集，记为 ABU补集：定义：在全集 U 中，由所有不属于集合 A 的元素组成的集合叫补集，记为UC A 二、指数与指数函数1、幂的运算法则：（1）a m a n=a m+n，（2），（3）(a m)n =a m n （4）(ab)n=nmnmaaaa n b n （5）（6）a 0=1(a0)（7）（8）（9）nnnbabannaa1mnmnaa1nmmnaa2、根式的性质 （1）.（2）当为奇数时，；当为偶数时，.()nnaannnaan,0|,0nna aaaa a5.指数式与对数式的互化：.logbaNbaN(0,1,0)aaN6、对数的运算法则：（1）a b=N b=log a N （2）log a 1=0 （3）log a a=1 （4）log a a b=b （5）a log a N=N （6）log a(MN)=log a M+log a N（7）log a()=log a M-log a N （8）log a N b=b log a N（9）换底公式：log a N=NMaNbbloglog（10）推论：(,且,且,).loglogmnaanbbm0a 1a,0m n 1m 1n 0N（11）log a N=（12）常用对数：lg N=log 10 N （13）自然对数：ln A=log e A aNlog1必修 4：1 1、特特殊殊角角的的三三角角函函数数值值角 0304560901802703602角 的弧度数0643223 2Sin021222310-10Cos12322210-101tan03313不存在0不存在02、诱导公式：函数名不变，符号看象限（把诱导公式：函数名不变，符号看象限（把 看成锐角）看成锐角）公式一：Sin（+2k）=Sin 公式二：Sin（+）=-SinCos（+2k）=Cos Cos（+）=-Costan（+2k）=tan tan（+）=tan公式三：Sin（-）=-Sin 公式四：Sin（-）=SinCos（-）=Cos Cos（-）=-Costan（-）=-tan tan（-）=-tan公式五：Sin（-）=Cos 公式六：Sin（+）=Cos22Cos（-）=Sin Cos（+）=-Sin223 3、两角和与角差的正弦、两角和与角差的正弦、余余弦弦和和正正切切公公式式 sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(4.4.二倍角的正弦、二倍角的正弦、余余弦弦和和正正切切公公式式 cossin22sin1cos2sin21sincos2cos2222 2tan1tan22tan22cos1sin222cos1cos22sin21cossin5、向量公式：（）ab)0,(222121yxyyxxab0,1221yxyx322222cos22)(bbaabbaababa（求向量的夹角）222221212121cosyxyxyyxxbaba 平面内两点间的距离公式：设则0baba),(yxa 22222yxayxa或平面内两点间的距离公式：)()(22212221yyxxa高中数学必修 5 知识点归纳第一章 解三角形1、正弦定理：在中，、分别为角、的对边，为的外接圆CAabcACRCA的半径，则有2sinsinsinabcRCA2、正弦定理的变形公式：，；2 sinaRA2 sinbR2 sincRC，；sin2aRA sin2bR sin2cCR:sin:sin:sina b cCAsinsinsinsinsinsinabcabcCCAA（正弦定理用来解决两类问题：正弦定理用来解决两类问题：1 1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2 2、已知、已知两角和一边，求其余的量。两角和一边，求其余的量。）对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）3、余弦定理：在中，有，CA2222cosabcbcA2222cosbacac2222coscababC4、余弦定理的推论：，222cos2bcabcA 222cos2acbac 222cos2abcCab（余弦定理解决的题型：余弦定理解决的题型：1、已知三边求三角、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角两角.）5、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCacAA 6 6、如何判断三角形的形状：设、如何判断三角形的形状：设、是是的角的角、的对边，则：的对边，则：若若abcCAAC，则，则；若若，则，则；若若，则，则222abc90C o222abc90C o222abc90C o附：三角形的五个附：三角形的五个“心心”；重心：三角形三条中线交点重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.4内心：三角形三内角的平分线相交于一点内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点垂心：三角形三边上的高相交于一点7、（1）测量角度问题是指无法直接用量角器测量角度的求解问题在实际生活中，要测量角的大小，求三角形中角度的大小，求不能直接测得的角，求轮船航行时航速与航向等问题均可结合正弦定理及余弦定理，通过解三角形求解在解决与测量问题有关的题目时，要搞清楚仰角、俯角、方位角与方向角的含义，合理的构造三角形求解，即把实际问题数学化（2）解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况，如下：已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解第二章 数列1、数列：按照一定顺序的一列数称为数列。2、项：首项:数列中每一项都和它的序号有关，排在第一位的数（a）1数列记为：nanaaaa321、通项：na 4、已知求的公式：)2()1(111nssnasannnnSna 注：danddnaan111（d可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）若d不为 0，则是等差数列充分条件）.等差na前n项和ndandBnAnSn22122 2d可以为零也可不为零为等差的充要条件若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）5、数列：按照一定顺序排列着的一列数6、数列的项：数列中的每一个数7、有穷数列：项数有限的数列8、无穷数列：项数无限的数列9、递增数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1an）10、递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+10,d0 时，满足001mmaa的项数 m使得ms取最大值.(2)当1a0 时，满足001mmaa的项数 m 使得ms取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。等比数列等比数列1、如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为2等比数列，这个常数称为等比数列的公比符号表示：（注：等比数列中不会出1nnaqa现值为 0 的项；同号位上的值同号）6注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：)0,2(1且为常数qnqaann 112nnnaaa(2n，011nnnaaa)nncqa(qc,为非零常数为非零常数).).正数列正数列 na 成等比的充要条件是数列成等比的充要条件是数列 nxalog（）成等）成等1n比数列比数列.2、等比中项：在与中间插入一个数，使，成等比数列，则称为与的等abGaGbGab比中项若，则称为与的等比中项（注：由不能得出，成2GabGab2GabaGb等比，由，）aGb2Gab3、通项公式：若等比数列的首项是，公比是，则 na1aq11nnaa q4、通项公式的变形：；n mnmaa q11nnaa q11nnaqan mnmaqa5、性质：若是等比数列，且（、），则；namnpqmnp*qmnpqaaaa若是等比数列，且（、），则 na2npqnp*q2npqaaa6、等比数列的前项和的公式：nan11111111nnnna qSaqaa qqqq12nnsaaaL7、几种常见的数列的思想方法：几种常见的数列的思想方法：等差数列的前n项和为nS，在时，有最大值.如何确定使nS取最大值时的n值，有0d两种方法：一是求使，成立的n值；二是由ndandSn)2(212利用二次函数001，nnaa的性质求n的值.数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：数列通项公式对应函数等差数列)()1-(11dadndnaan（时为一次函数）bdxyCd 等比数列nnnqqaqaa111（指数型函数）xaqy 数列前 n 项和公式对应函数7等差数列ndanddnnnaSn)2(22)1(121（时为二次函bxaxy20a数）等比数列qaqqaqqaSnnn111)1(111（指数型函数）baqyx综合数列的知识点部分1、判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于 n2 的任意自然数,验证)(11nnnnaaaa为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证212nnnaaaNnaaannn)(221都成立。2、数列求和的常用方法数列求和的常用方法公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。裂项相消法:适用于1nnaac其中 na是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。错位相减法:适用于nnba其中 na是等差数列，nb是各项不为 0 的等比数列。倒序相加法:类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法.3、常用结论：1+2+3+.+n=2)1(nn 1+3+5+.+(2n-1)=2n 2333)1(2121nnnL )12)(1(613212222nnnnL 111)1(1nnnn )211(21)2(1nnnn)()11(11qpqppqpq4、求通项的方法：累加法，如：累乘法，如：)(1nfaann)(1nfaann构造法：如：)1(111ABaAABaBAaannnn第三章 不等式1、常见用语的符号表示：“不超过”：“超过”：“超不过”：2、比较大小的方法：；（利用作差法）0abab0abab0abab8技巧：优先考虑加减，后考虑两边平方。技巧：优先考虑加减，后考虑两边平方。回顾：作差法的步骤：作差；变形；定正负；得出结论。3、不等式的 8 条性质（利用生活上的一些事情去记忆，例如两（三）人比谁有钱；比谁高）：；（两个的游戏）abba；（第三个是中间人时）,ab bcac；（C 无需任何条件）（三个游戏）abacbc，；,0ab cacbc,0ab cacbc；（四人游戏，大+大，小+小）,ab cdacbd；（大大，小小）0,0abcdacbd；（分身术）0,1nnababnn0,1nnabab nn关于等式的事实和性质是解决不等式问题的基本依据。关于等式的事实和性质是解决不等式问题的基本依据。4、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式25、一元二次不等式的求解：特例 一元一次不等式 axb 解的讨论；一元二次不等式 ax2+bx+c0(a0)解的讨论.acb42000二次函数cbxaxy2（0a）的图象一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R的解集)0(02acbxax21xxxx对于 a0 的不等式可以先把 a 化为正后用上表来做即可。二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是 的不等式16、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对xy9，所有这样的有序数对构成的集合,x y,x y8、在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点0 xyCA 00,xy若，则点在直线的上方0 000 xyCA00,xy0 xyCA 若，则点在直线的下方0 000 xyCA00,xy0 xyCA 9、线性规划：、画直线（边界）虚、实线区别：虚线：/实线：/分边：取特殊点（在线内外）检验注意：直线未经过原点时，优先使用（注意：直线未经过原点时，优先使用（0,00,0）判定；直线过原点则选择数轴上的点。）判定；直线过原点则选择数轴上的点。10、线性约束条件：由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，的线性约束条xyxy件。目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式。xy线性目标函数：目标函数为，的一次解析式。xy线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题。可行解：满足线性约束条件的解。,x y可行域：所有可行解组成的集合。最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解。11、设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几ab2abababab何平均数12、均值不等式定理：若，则，即0a 0b 2abab2abab13、常用的基本不等式：；222,abab a bR22,2ababa bR；20,02ababab222,22ababa bR高中数学选修 11 知识点归纳第一章 常用逻辑用语1、命题：命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题；判断为假的语句叫做假命题；（注意：疑问句、祈使句、感叹句。一般都不是命题；要判断一个命题是真命题，一般需（注意：疑问句、祈使句、感叹句。一般都不是命题；要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断，要经过严格的推理论证，在判断时，要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可2、命题的条件与结论：“若 p，则 q”的形式的命题中的 p 称为命题的条件，q 称为命题的结论。注意：有些命题虽然表面上不是注意：有些命题虽然表面上不是“若若 p，则，则 q”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成以写成“若若 p，则，则 q”的形式的形式3、四种命题：10原命题为：若 p，则 q，逆命题为：若 q，则 p，即交换原命题的条件和结论即得其逆命题.否命题为：若p，则q，即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题.逆否命题为：若q，则p，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，则得其逆否命题.4、四种命题的相互关系：（一）四种命题之间的相互关系结论：互为逆否的两个命题是等价的。结论：互为逆否的两个命题是等价的。（对角线命题真假性统一）（二）四种命题的真假性 （三）四种命题的真假性之间的关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的的真假性 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 没有关系5、充分条件与必要条件定义：的必要条件是的充分条件，是则若pqqpqp,6、充要条件定义：如果 p 是 q 的充分条件，p 又是 q 的必要条件，则称 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件，记作qp 注意注意充要条件的证明：证明充要条件应从两个方面证明，一是充分性；二是必要性。充要条件的证明：证明充要条件应从两个方面证明，一是充分性；二是必要性。充要条件的判断方法充要条件的判断方法(1)定义法：直接利用定义进行判断：定义法：直接利用定义进行判断：(2)等价法等价法“pq”表示表示 p 等价于等价于 q，要证，要证 pq，只需证它的逆否命题非，只需证它的逆否命题非 q非非 p 即可，即可，同理要证同理要证 p q，只需证非，只需证非 q 非非 p 即可，所以即可，所以 pq，只需非，只需非 q非非 p.(3)集合法：利用集合间的包含关系进行判断集合法：利用集合间的包含关系进行判断若若 AB，则，则 p 是是 q 的充分条件，由的充分条件，由 xA，可得，可得 xB；若若 AB，则，则 p 是是 q 的必要条件，要使的必要条件，要使 xB，则，则 xA 是必不可少的；是必不可少的；若若 AB，则，则 p 是是 q 的充要条件；的充要条件；原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假11若若 AB，且，且 BA，则，则 p 既不是既不是 q 的充分条件，也不是的充分条件，也不是 q 的必要条件的必要条件7、常见的几种条件：若，但 qp，则是的充分不必要条件（也可以说的充分条件不必要条件是）qp pqqp若，但 qp，则是的必要不充分条件（也可以说的必要不充分条件条是）；qp pqqp若，且 qp，则是的充要条件（也可以说是的充要条件），记作；qp pqqpqp 若，且 qp，则是的既不充分也不必要条件；qp pq重要结论与注意：小范围重要结论与注意：小范围大范围，但是大范围不能推出小范围大范围，但是大范围不能推出小范围8、逻辑联结词：且、或、非且：p 且 q“同真为真；一假即假”)(qp 或：p 或 q“同假为假；一真即真”)(qp 非：非 p：“与 p 的真假相反”)(pp注意：若注意：若为真，为真，为假，则你所得到的结论是？为假，则你所得到的结论是？“p、q 一真一假一真一假”)(qp)(qp 9、全称命题全称命题：陈述某集合中的所有元素都具有(不具有)某种性质的命题，无一例外，强调“整体、全部”全称命题 p：,它的否定：)(,xpMxp)(,00 xpMx常见的全称量词：对所有的、对任意一个、对一切、对每一个、任给、所有的特称命题特称命题：陈述某集合中有(存在)一个元素具有(不具有)某种性质的命题，强调“个别、部分”的特殊性特称命题特称命题 p：,它的否定：)(,00 xpMx p)(,xpMx常见的特殊量词：存在一个、至少有一个、有些、有一个、对某个、有的结论：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。结论：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。10、如何判定全称命题和特称命题的真假？对全称命题，若要判定为真命题，需对每一个 x 都验证使 p(x)成立；若要判定为假命题，只需举一个反例对特称命题，若要判定为真命题，只需找一个元素 x0 使 p(x0)成立；若要判定为假命题，需证明对每一个 x，p(x)不成立11、常见词语的否定词语词语的否定等于不等于大于小于是不是都是不都是（都不是要区分）至多一个至少两个至少一个一个都没有任意某个所有的某些12第二章 圆锥曲线与方程（一）椭圆1、椭圆方程的第一定义：椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无意义方程为椭圆21212121212121,FFFFMFMFFFMFMFFFMFMF=2a（固定）=2c(焦距)（a 最大）21MFMF 21FF222cba注：定义中要重视注：定义中要重视“括号括号”内的限制条件内的限制条件2、椭圆的几何性质：、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形标准方程222210 xyabab222210yxabab范围且axa byb 且bxb aya 顶点、1,0aA2,0aA、10,b20,b、10,aA20,aA、1,0b2,0b轴长短轴的长 长轴的长2b2a焦点、1,0Fc2,0Fc、10,Fc20,Fc焦距222122FFc cab对称性关于轴、轴、原点对称xy离心率22101cbeeaa 注意：标准方程是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上。注意：标准方程是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上。如果知道两点坐标，确不知道焦点在什么轴上，我们为了方便计算，就设一般方程如果知道两点坐标，确不知道焦点在什么轴上，我们为了方便计算，就设一般方程为为13),0,0(122BABAByAx且3、焦半径：焦半径：设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义),(00yxP)0(12222babyax21,FF可以推出：，01exaPF02exaPF设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定),(00yxP)0(12222baaybx21,FF义可以推出：，归结起来为归结起来为“左加右减左加右减”、“下加上减下加上减”.01eyaPF02eyaPF（二）双曲线1、双曲线的第一定义：双曲线的第一定义：=2a2c（固定）的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,FFFFMFMFFFMFMFFFMFMF21MFMF=2c(焦距)21FF焦距：（c 最大）222abc注：定义中要重视注：定义中要重视“括号括号”内的限制条件内的限制条件2、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在轴上x焦点在轴上y图形标准方程222210,0 xyabab222210,0yxabab范围或，xa xayR或，ya yaxR顶点、1,0aA2,0aA、10,aA20,aA轴长虚轴的长 实轴的长2b2a焦点、1,0Fc2,0Fc、10,Fc20,Fc14焦距222122FFc cab对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称xy离心率2211cbeeaa准线方程2axc 2ayc 渐近线方程byxa ayxb 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线3、等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.222ayxxy2e4、一般方程：一般方程：.)0(122ABByAx（三）抛物线标准方程22ypx0p 22ypx 0p 22xpy0p 22xpy 0p 图形顶点0,0对称轴轴x轴y焦点,02pF,02pF0,2pF0,2pF准线方程2px 2px 2py 2py 离心率1e 范围0 x 0 x 0y 0y 153、求轨迹方程的步骤：设题干中的点的坐标寻找等式得到有关 x、y 的等式说明轨迹4、求轨迹的方法有：直接法：当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程,称之直接法.待定系数法：已知轨迹是什么图形，先设出其标准方程，再求出参数。定义法：定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.