初中数学几何证明经典试题(含答案).pdf

第 1 页 共 15 页初初 中中 几几 何何 证证 明明 题题经经 典典 题题（一）（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO求证：CDGF（初二）.如下图做 GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFHOEG,即GHFOGE,可得=,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。EOGFGOGHCOCD2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，PADPDA150 求证：PBC 是正三角形（初二）.如下图做 GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFHOEG,即GHFOGE,可得=,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。EOGFGOGHCOCD.如下图做 GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFHOEG,即GHFOGE,可得=,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。EOGFGOGHCOCDAPCDBAFGCEBOD第 2 页 共 15 页3、如图，已知四边形 ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点求证：四边形 A2B2C2D2是正方形（初二）4、已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC的延长线交 MN 于 E、F求证：DENF经经 典典 题题（二）（二）1、已知：ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且 OMBC 于 M（1）求证：AH2OM；（2）若BAC600，求证：AHAO（初二）D2C2B2A2D1C1B1CBDAA1ANFECDMBADHEMCBO第 3 页 共 15 页PCGFBQADE2、设 MN 是圆 O 外一直线，过 O 作 OAMN 于 A，自 A 引圆的两条直线，交圆于B、C 及 D、E，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q求证：APAQ（初二）3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE，设 CD、EB 分别交 MN于 P、Q求证：APAQ（初二）4、如图，分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边，在ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形CBFG，点 P 是 EF 的中点求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半（初二）经经 典典 题题（三）（三）1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DEAC，AEAC，AE 与 CD 相交于 F求证：CECF（初二）GAODBECQPNMOQPBDECNMAAFDECB第 4 页 共 15 页2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DEAC，且 CECA，直线 EC 交 DA 延长线于 F求证：AEAF（初二）3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点，PFAP，CF 平分DCE求证：PAPF（初二）4、如图，PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D求证：ABDC，BCAD（初三）经经 典典 题题（四）（四）1、已知：ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA3，PB4，PC5求：APB 的度数（初二）2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且PBAPDA求证：PABPCB（初二）3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD（初三）DEDACBFFEPCBAODBFAECPAPCBPADCB第 5 页 共 15 页4、平行四边形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点，AE 与 CF 相交于 P，且AECF求证：DPADPC（初二）经经 典典 难难 题题（五）（五）1、设 P 是边长为 1 的正ABC 内任一点，LPAPBPC，求证：L22、已知：P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PAPBPC 的最小值3、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长CBDAFPDECBAAPCBACBPDACBPD第 6 页 共 15 页4、如图，ABC 中，ABCACB800，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DCA300，EBA200，求BED 的度数经经 典典 题题（一）（一）1.如下图做 GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFHOEG,即GHFOGE,可得=,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。EOGFGOGHCOCD2.如下图做 GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFHOEG,即GHFOGE,可得=,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。EOGFGOGHCOCD3.如下图连接 BC1和 AB1分别找其中点 F,E.连接 C2F 与 A2E 并延长相交于 Q 点，EDCBA第 7 页 共 15 页连接 EB2并延长交 C2Q 于 H 点，连接 FB2并延长交 A2Q 于 G 点，由 A2E=A1B1=B1C1=FB2，EB2=AB=BC=FC1，又GFQ+Q=900和12121212GEB2+Q=900,所以GEB2=GFQ 又B2FC2=A2EB2，可得B2FC2A2EB2，所以 A2B2=B2C2，又GFQ+HB2F=900和GFQ=EB2A2,从而可得A2B2 C2=900，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形 A2B2C2D2是正方形。4.如下图连接 AC 并取其中点 Q，连接 QN 和 QM，所以可得QMF=F，QNM=DEN 和QMN=QNM，从而得出DENF。经经 典典 题题（二）（二）第 8 页 共 15 页1.(1)延长 AD 到 F 连 BF，做 OGAF,又F=ACB=BHD，可得 BH=BF,从而可得 HD=DF，又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接 OB，OC,既得BOC=1200，从而可得BOM=600,所以可得 OB=2OM=AH=AO,得证。3.作 OFCD，OGBE，连接 OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。由于，22ADACCDFDFDABAEBEBGBG=由此可得ADFABG，从而可得AFC=AGE。又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆，可得AFC=AOP 和AGE=AOQ，AOP=AOQ，从而可得 AP=AQ。第 9 页 共 15 页4.过 E,C,F 点分别作 AB 所在直线的高 EG，CI，FH。可得 PQ=。2EGFH+由EGAAIC，可得 EG=AI，由BFHCBI，可得 FH=BI。从而可得PQ=，从而得证。2AIBI+2AB经经 典典 题题（三）（三）1.顺时针旋转ADE，到ABG，连接 CG.由于ABG=ADE=900+450=1350 从而可得 B，G，D 在一条直线上，可得AGBCGB。推出 AE=AG=AC=GC，可得AGC 为等边三角形。AGB=300，既得EAC=300，从而可得A EC=750。第 10 页 共 15 页 又EFC=DFA=450+300=750.可证：CE=CF。2.连接 BD 作 CHDE，可得四边形 CGDH 是正方形。由 AC=CE=2GC=2CH，可得CEH=300，所以CAE=CEA=AED=150，又FAE=900+450+150=1500，从而可知道F=150，从而得出 AE=AF。3.作 FGCD，FEBE，可以得出 GFEC 为正方形。令 AB=Y，BP=X,CE=Z,可得 PC=Y-X。tanBAP=tanEPF=，可得 YZ=XY-X2+XZ，XYZYXZ-+即 Z(Y-X)=X(Y-X)，既得 X=Z，得出ABPPEF，得到 PAPF，得证。第 11 页 共 15 页经经 典典 难难 题题（四）（四）1.顺时针旋转ABP 600，连接 PQ，则PBQ 是正三角形。可得PQC 是直角三角形。所以APB=1500。2.作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使 AEDC，BEPC.可以得出ABP=ADP=AEP，可得：AEBP 共圆（一边所对两角相等）。可得BAP=BEP=BCP，得证。3.在 BD 取一点 E，使BCE=ACD，既得BECADC，可得：=，即 ADBC=BEAC，BEBCADAC第 12 页 共 15 页 又ACB=DCE，可得ABCDEC，既得 =，即 ABCD=DEAC，ABACDEDC 由+可得:ABCD+ADBC=AC(BE+DE)=ACBD，得证。4.过 D 作 AQAE，AGCF，由=，可得：ADESV2ABCDSYDFCSV =，由 AE=FC。2AE PQg2AE PQg 可得 DQ=DG，可得DPADPC（角平分线逆定理）。经经 典典 题题（五）（五）1.（1）顺时针旋转BPC 600，可得PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF 在一条直线上，即如下图：可得最小 L=；第 13 页 共 15 页（2）过 P 点作 BC 的平行线交 AB,AC 与点 D，F。由于APDATP=ADP，推出 ADAP 又 BP+DPBP 和 PF+FCPC 又 DF=AF 由可得：最大 L 2；由（1）和（2）既得：L2。2.顺时针旋转BPC 600，可得PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF 在一条直线上，即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF。第 14 页 共 15 页既得 AF=213(1)42+23+42 32+=2(31)2+2(31)2+=。622+3.顺时针旋转ABP 900，可得如下图：既得正方形边长 L=。2222(2)()22a+g52 2 a+g第 15 页 共 15 页4.在 AB 上找一点 F，使BCF=600，连接 EF，DG，既得BGC 为等边三角形，可得DCF=100,FCE=200,推出ABEACF，得到 BE=CF，FG=GE。推出：FGE 为等边三角形，可得AFE=800，既得：DFG=400 又 BD=BC=BG，既得BGD=800，既得DGF=400 推得：DF=DG,得到：DFEDGE，从而推得：FED=BED=300 。