九年级数学上册反比例函数知识点总结及反比例函数练习题.pdf
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1、第十三讲 反比例函数课程目标课程目标理解反比例函数的概念和性质,会用待定系数法求反比例函数的解析式。树立数形结合的数学思想,能完成解析式和图像位置、性质之间的转化。综合运用多种数学思想,逐步形成数学应用和建模的意识。课程重点课程重点掌握反比例函数的概念及性质,确定反比例函数的解析式。理解函数图像的含义,学习从图像中获取信息解决问题的能力。能运用反比例函数的知识,解决实际应用的问题。课程难点课程难点掌握反比例函数图像的几何意义,渗透数形结合的数学思想。运用类比和转化思想,解决实际问题及代几综合题。教学方法建议教学方法建议反比例函数是八年级下的内容,经常与一次函数结合考查,也是中考出题的热点篇章。
2、本身蕴含诸多数学思想:方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、数学建模思想等等。本讲中的每道例题及搭配课堂训练题都是一个考点的小专题。限于课堂容量,部分简单及非典型题将在课后作业中出现,建议教师根据学生情况选择性讲授作为补充。课堂精讲例题课堂精讲例题搭配课堂训练题搭配课堂训练题课后作业课后作业A 类(2)道(2)道(10)道B 类(3)道(2)道(10)道选材程度及数量选材程度及数量C 类(2)道(2)道(10)道第一部分 知识梳理 一、反比例函数的解析式一、反比例函数的解析式 1反比例函数的概念反比例函数的概念一般地,函数(k 是常数,k0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可xky 以写成
3、的形式。自变量 x 的取值范围是 x0 的一切实数,函数的取值范围也是1 kxy一切非零实数。2反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定由于在反比例函数中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的xky 一个点的坐标,即可求出 k 的值,从而确定其解析式。二、反比例函数的图像及性质二、反比例函数的图像及性质1反比例函数的图象反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线,有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x0,函数 y0,所以,它的图象与 x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。2
4、反比例函数的性质反比例函数)0(kxkyk 的符号k0k0 时,函数图象的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内,y 随 x 的增大而减小。x 的取值范围是 x0,y 的取值范围是 y0;当 k0 时,函数图象的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内,y 随 x 的增大而增大。对称性的图象是轴对称图形,对称轴为或)0(kxky)0(kxy)0(kxy 的图象是中心对称图形,对称中心为原点(0,0);)0(kxky(k0)在同一坐标系中的图象关于 x 轴对称,xkyxky和也关于 y 轴对称3反比例函数中反比例系数的几何意义反比例函数中反比例系数的几何意义过双曲线(k0)上任意一点作 x 轴
5、、y 轴的垂线段,所得矩形(如图)面积为。xky k过双曲线(k0)上任意一点作任一坐标轴的垂线段,连接该点和原点,所得xky 三角形(如图)的面积为2k双曲线(k0)同一支上任意两点、与原点组成的 三角形(如图)的面xky 1P2P积=直角梯形的面积1221PPQQ第二部分 例题与解题思路方法归纳【例题例题 1】已知函数是反比例函数,且图象在第二、四象限内,则 m 的521mxmy值是()A2B2C2D21难度分级难度分级A 类试题来源试题来源2010 年凉山州中考数学试题选题意图选题意图对于反比例函数。由于,所以反比例函数也可以写成)0(kxky11 xx(k 是常数,k0)的形式,有时也
6、以 xy=k(k 是常数,k0)的形式出现。(1)1 xyk0,反比例函数图象在一、三象限;(2)k0,反比例函数图象在第二、四象限内本题需要理解好反比例函数定义中的系数和指数,同时需要掌握反比例函数的性质,这样才能防止漏解或多解。yxOQCBAP解题思路解题思路根据反比例函数的定义 m25=1,又图象在第二、四象限,所以 m+10,两式联立方程组求解即可参考答案参考答案解:函数是反比例函数,且图象在第二、四象限内,521mxmy,解得 m=2 且 m1,m=2故选 B01152mm【课堂训练题课堂训练题】1(2000甘肃)已知 y=y1+y2,y1与 x 成正比例,y2与 x2 成反比例,且
7、当 x=1 时,y=1;当 x=3 时,y=5求 y 与 x 的函数关系式难度分级难度分级A 类参考答案参考答案解:设 y1=k1x(k10),y2=y=k1x+当 x=1 时,y=1;当 x=3 时,y=5,。5312121kkkk2121kk。22xxy2定义:已知反比例函数与,如果存在函数(k1k20)则称函xky1xky2xkky21数为这两个函数的中和函数。xkky21(1)试写出一对函数,使得它的中和函数为,并且其中一个函数满足:当 x0 时,xy2y 随 x 的增大而增大。(2)函数和的中和函数的图象和函数 y=2x 的图象相交于两点,试xy3xy12xky 求当的函数值大于 y
8、=2x 的函数值时 x 的取值范围。xky 难度分级难度分级B 类参考答案参考答案解:(1)试写出一对函数,使得它的中和函数为,并且其中一个函数满足:当 x0 时,y 随 x 的增大而增大答案不唯一,如 y=与 y=等;y=x1x4x3(2)y=和 y=的中和函数 y=,x3x12x6联立方程组,xyxy26解之得两个函数图象的交点坐标为(,)(,),结合图象得到当332332的函数值大于 y=2x 的函数值时 x 的取值范围是或xky 3x30 x【例题例题 2】如图所示是反比例函数的图象的一支,根据图象回答下列问题:xny42(1)图象的另一支在哪个象限?常数 n 的取值范围是什么?(2)
9、若函数图象经过点(3,1),求 n 的值;(3)在这个函数图象的某一支上任取点 A(a1,b1)和点 B(a2,b2),如果 a1a2,试比较 b1和 b2的大小难度分级难度分级B 类试题来源试题来源2010 年肇庆市中考数学试题选题意图选题意图本题主要考查反比例函数图象的性质和待定系数法求函数解析式的方法,需要熟练掌握解题思路解题思路(1)根据反比例函数图象的性质,这一支位于第一象限,另一支一定位于第三象限;(2)把点的坐标代入反比例函数求出 n 值,即可求出函数解析式;(3)根据反比例函数图象的性质,当 k0 时,在每个象限内,函数值 y 随 x 增大而减小。参考答案参考答案解:(1)图象
10、的另一支在第三象限由图象可知,2n40,解得:n2(2)将点(3,1)代入得:,解得:n=;xny42 3421n(3)2n40,在这个函数图象的任一支上,y 随 x 增大而减小,当 a1a2时,b1b2【课堂训练题课堂训练题】1如图是反比例函数的图象的一支xmy5(1)求 m 的取值范围,并在图中画出另一支的图象;(2)若 m=1,P(a,3)是双曲线上点,PHy 轴于 H,将线段 OP 向右平移 3PH 的长度至 OP,此时 P 的对应点 P恰好在另一条双曲线的图象上,则平移中线段 OP 扫xky 过的面积为 ,k=(直接填写答案)难度分级难度分级B 类参考答案参考答案解:(1)由反比例函
11、数的图象可知 m50,即 m5(2)m=1,反比例函数的解析式为,xmy5xy6把 P(a,3)代入上式得 a=2向右平移 3PH,可得 P坐标为(4,3),第一象限内抛物线解析式为xy12Soopp=SAPPA=23+43=18则平移中线段 OP 扫过的面积为 18,k=122(2006临沂)我们学过二次函数的图象的平移,如:将二次函数的图象向左平23yx移 2 个单位,再向下平移 4 个单位,所图象的函数表达式是。23(2)4yx类比二次函数的图象的平移,我们对反比例函数的图象作类似的变换:(1)将 y=的图象向右平移 1 个单位,所得图象的函数表达式为 ,再向上平移 1个单位,所得图象的
12、函数表达式为 ;(2)函数 y=的图象可由 y=的图象向 平移 个单位得到;y=的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到;(3)一般地,函数 y=(ab0,且 ab)的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到?难度分级难度分级B 类参考答案参考答案解:(1)可设新反比例函数的解析式为 y=,可从原反比例函数找一点(1,1),向右平移 1 个单位得(2,1),代入解析式可得:a=1故所得图象的函数表达式为;再向上平移 1 个单位,所得图象的函数表达式为(2)先把函数化为标准反比例的形式 y=+1,然后即可根据反比例函数图象平移的性质解答:y=可转化为故函数 y=的图象可由 y=的图
13、象向上移 1 个单位得到;y=的图象可由反比例函数的图象先向右平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位得到(3)函数(ab0,且 ab)可转化为当 a0 时,的图象可由反比例函数的图象向左平移 a 个单位,再向上平移 1 个单位得到;当 a0 时,的图象可由反比例函数的图象向右平移a 个单位,再向上平移 1 个单位得到【例题例题 3】在反比例函数的图象的每一条曲线上,y 都随 x 的增大而减小xky(1)求 k 的取值范围;(2)在曲线上取一点 A,分别向 x 轴、y 轴作垂线段,垂足分别为 B、C,坐标原点为O,若四边形 ABOC 面积为 6,求 k 的值难度分级难度分级B 类试题来源试题来
14、源2009 年湖南省湘西自治州中考数学试题选题意图选题意图 主要考查了反比例函数中 k 的几何意义,即过双曲线上任意一点引 xxky 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为|k|,是经常考查的一个知识点;这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解 k 的几何意义图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的关系即 S=|k|解题思路解题思路(1)直接根据反比例函数的性质求解即可,k0;(2)直接根据 k 的几何意义可知:过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为|k|,所以|k|=6,而k0,则 k=6参考答案参考答案解:(1)y 的值随 x 的增
15、大而减小,k0(2)由于点 A 在双曲线上,则 S=|k|=6,而 k0,所以 k=6【课堂训练题课堂训练题】1(2009莆田)如图,在 x 轴的正半轴上依次截取 OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5,过点 A1、A2、A3、A4、A5分别作 x 轴的垂线与反比例函数 y=(x0)的图象相交于点 P1、P2、P3、P4、P5,得直角三角形 OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、A3P4A4、A4P5A5,并设其面积分别为 S1、S2、S3、S4、S5,则 S5的值为 难度分级难度分级B 类参考答案参考答案解:因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角
16、三角形面积 S 是个定值,S=|k|所以 S1=1,S2=S1=,S3=S1=,S4=S1=,S5=S1=2如图,已知 A、C 两点在双曲线上,点 C 的横坐标比点 A 的横坐标多 2,ABx 轴,CDx 轴,CEAB,垂足分别是 B、D、E(1)当 A 的横坐标是 1 时,求AEC 的面积 S1;(2)当 A 的横坐标是 n 时,求AEC 的面积 Sn;(3)当 A 的横坐标分别是 1,2,10 时,AEC 的面积相应的是 S1,S2,S10,求 S1+S2+S10的值难度分级难度分级B 类参考答案参考答案解:(1)点 A 的坐标为(1,1),反比例函数的比例系数 k 为 11=1;A 的横
17、坐标是 1,点 C 的横坐标比点 A 的横坐标多 2,点 A 的纵坐标为 1,点 C 的横坐标为 3,纵坐标为,AEC 的面积 S1=AEEC=2(1)=;(2)由(1)可得当 A 的横坐标是 n 时,AEC 的面积 Sn=2()=;(3)解法一:S1+S2+S10=(1)+()+()+()+()+()=1+=【例题例题 4】已知反比例函数,k 为常数,k1xky1(1)若点 A(1,2)在这个函数的图象上,求 k 的值;(2)若在这个函数图象的每一支上,y 随 x 的增大而减小,求 k 的取值范围;(3)若 k=13,试判断点 B(3,4),C(2,5)是否在这个函数的图象上,并说明理由难度
18、分级难度分级A 类试题来源试题来源2010 年天津市中考数学试题选题意图选题意图此题是一道基础题,考查了三方面的内容:用待定系数法求函数解析式;反比例函数的性质;反比例函数图象上点的坐标特点解题思路解题思路(1)将点 A(1,2)代入解析式即可求出 k 的值;(2)根据反比例函数的性质,判断出图象所在的象限,进而可求出 k 的取值范围;(3)将 k=13 代入 y=,得到反比例函数解析式,再将 B(3,4),C(2,5)代入解析式解答即可参考答案参考答案解:(1)点 A(1,2)在这个函数的图象上,2=k1,解得 k=3(2)在函数图象的每一支上,y 随 x 的增大而减小,k10,解得 k1(
19、3)k=13,有 k1=12,反比例函数的解析式为,将点 B 的坐标代入,可知点 B 的坐标满足函数关系式,点 B 在函数的图象上,将点 C 的坐标代入,由,可知点 C 的坐标不满足函数关系式,点 C 不在函数的图象上【课堂训练题课堂训练题】1(2008肇庆)已知点 A(2,6)、B(3,4)在某个反比例函数的图象上(1)求此反比例函数的解析式;(2)若直线 y=mx 与线段 AB 相交,求 m 的取值范围难度分级难度分级A 类参考答案参考答案解:(1)设所求的反比例函数为 y=,依题意得:6=;k=12反比例函数为 y=(2)设 P(x,y)是线段 AB 上任一点,则有 2x3,4y6;m=
20、,m 所以 m 的取值范围是 m32(2009长春)如图,点 P 的坐标为(2,),过点 P 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 A,交双曲线 y=(x0)于点 N;作 PMAN 交双曲线 y=(x0)于点 M,连接 AM已知PN=4(1)求 k 的值(2)求APM 的面积难度分级难度分级A 类参考答案参考答案解:(1)点 P 的坐标为(2,),AP=2,OA=PN=4,AN=6,点 N 的坐标为(6,)把 N(6,)代入 y=中,得 k=9(2)k=9,y=当 x=2 时,y=MP=3SAPM=23=3【例题例题 5】如图,A、B 两点在函数 y=(x0)的图象上(1)求 m 的值及直线 AB
21、 的解析式;(2)如果一个点的横、纵坐标均为整数,那么我们称这个点是格点请直接写出图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数难度分级难度分级B 类试题来源试题来源2009 年北京市高等中学招生考试选题意图选题意图 本题考查了一次函数和反比例函数的图象性质,综合性较强,体现了数形结合的思想解题思路解题思路(1)将 A 点或 B 点的坐标代入 y=求出 m,再将这两点的坐标代入 y=kx+b求出 k、b 的值即可得到这个函数的解析式;(2)画出网格图帮助解答参考答案参考答案解:(1)由图象可知,函数(x0)的图象经过点 A(1,6),可得 m=6设直线 AB 的解析式为 y=kx+bA(1,6),B
22、(6,1)两点在函数 y=kx+b 的图象上,解得166bkbk71bk直线 AB 的解析式为 y=x+7;(2)图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数是 3【课堂训练题课堂训练题】1如图,在平面直角坐标系中,直线 y=x5 交 x 轴于 A,交 y 轴于 B,点 P(0,1),D 是线段 AB 上一动点,DCy 轴于点 C,反比例函数的图象经过点 D(1)若 C 为 BP 的中点,求 k 的值(2)DHDC 交 OA 于 H,若 D 点的横坐标为 x,四边形 DHOC 的面积为 y,求 y 与 x 之间的函数关系式难度分级难度分级B 类参考答案参考答案解:(1)B 点是直线 y=x5 与
23、y 轴的交点,x=0,y=5,即 B 点坐标为(0,5),点 P(0,1),C 为 BP 的中点,C 点的坐标为(0,3),D 点纵坐标为3,即3=x5,x=2,D 点坐标为(2,3),D 在反比例函数 y=的图象上,k=(2)(3)=6(2)D 点的横坐标为 x,其纵坐标为x5,D 点在第三象限,x0,x50,y=|x|x5|=x(x+5)=x25x2(2006北京)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=x 绕点 O 顺时针旋转 90得到直线l,直线 l 与反比例函数的图象的一个交点为 A(a,3),试确定反比例函数的解析式难度分级难度分级A 类参考答案参考答案解:依题意得,直线 l 的解
24、析式为 y=x因为 A(a,3)在直线 y=x 上,则 a=3即 A(3,3)又因为 A(3,3)在 y=的图象上,可求得 k=9,所以反比例函数的解析式为 y=3(2009兰州)如图,已知 A(4,n),B(2,4)是一次函数 y=kx+b 的图象和反比例函数 y=的图象的两个交点(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及AOB 的面积;(3)求方程 kx+b=0 的解(请直接写出答案);(4)求不等式 kx+b0 的解集(请直接写出答案)难度分级难度分级B 类参考答案参考答案解:(1)B(2,4)在函数 y=的图象上,m=8反比例函数的解析式为
25、:y=点 A(4,n)在函数 y=的图象上,n=2,A(4,2),y=kx+b 经过 A(4,2),B(2,4),解之得:4224bkbk21bk一次函数的解析式为:y=x2(2)C 是直线 AB 与 x 轴的交点,当 y=0 时,x=2点 C(2,0),OC=2SAOB=SACO+SBCO=22+24=6(3)x1=4,x2=2(4)4x0 或 x2【例题例题 6】水产公司有一种海产品共 2104 千克,为寻求合适的销售价格,进行了 8 天试销,试销情况如下:观察表中数据,发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量 y(千克)与销售价格 x(元/千克)之间的关系现假定在这批海产品的销售中
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