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-1-高中数学教材人教版知识点总结高中数学教材人教版知识点总结必修必修 1 1第一章、集合与函数概念1.1.1、集合、集合1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。3、常见集合：正整数集合：或，整数集合：，有理数集合：，实数集合：.*NNZQR4、集合的表示方法：列举法、描述法.1.1.2、集合间的基本关系、集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，则称集合 A 是集合 B 的子集。记作.BA 2、如果集合，但存在元素，且，则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作：A B.BA BxAx3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：空集合是任何集合的子集.4、如果集合 A 中含有 n 个元素，则集合 A 有个子集.n21.1.3、集合间的基本运算、集合间的基本运算1、一般地，由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集.记作：.BAU2、一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集.记作：.BAI3、全集、补集？|,UC Ax xUxU且运算类型交 集并 集补 集定 义由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B的交集记作AB（读作A 交IB），即AB=x|xA，I且 xB 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集记作：AB（读作A 并 B），U即 AB=x|xA，U或 xB)设 S 是一个集合，A是 S 的一个子集，由S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做S 中子集 A 的补集（或余集）记作，即ACSCSA=,|AxSxx且韦恩图示AB图 1AB图 2SA-2-性性 质质AA=A IA=IAB=BAIIABAI ABBIAA=AUA=AUAB=BAUUABUABBU(CuA)(CuB)I=Cu(AB)U(CuA)(CuB)U=Cu(AB)IA(CuA)=UUA(CuA)=I1.2.1、函数的概念、函数的概念1、设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合 A 中的任意一个数，在集合 B 中都fx有惟一确定的数和它对应，那么就称为集合 A 到集合 B 的一个函数，记作：xfBAf:.Axxfy,2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.1.2.2、函数的表示法、函数的表示法1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.1.3.1、单调性与最大（小）值、单调性与最大（小）值单调性的定义：见书单调性的定义：见书 P281、注意函数单调性证明的一般格式：解：设且，则：=baxx,2121xx 21xfxf1.3.2、奇偶性、奇偶性1、一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么就称函数为偶函数.xfx xfxf xf偶函数图象关于轴对称.y2、一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么就称函数为奇函数.奇 xfx xfxf xf函数图象关于原点对称.第二章、基本初等函数（）2.1.1、指数与指数幂的运算、指数与指数幂的运算1、一般地，如果，那么叫做 的次方根。其中.axnxanNnn,12、当为奇数时，；当为偶数时，.naannnaann3、我们规定：；mnmnaa1,0*mNnma；01naann-3-4、运算性质：；.Qsraaaasrsr,0 Qsraaarssr,0 Qrbabaabrrr,0,02.1.2、指数函数及其性质、指数函数及其性质1、记住图象：1,0aaayx相关性质：2.2.1、对数与对数运算、对数与对数运算1、；2、.3、，.xNNaaxlogaaNalog01loga1logaa4、当时：0,0,1,0NMaa；.NMMNaaalogloglogNMNMaaalogloglogMnManaloglog5、换底公式：.6、abbccalogloglog0,1,0,1,0bccaaabbalog1log .1,0,1,0bbaa2.2.2、对数函数及其性质、对数函数及其性质1、记住图象：1,0logaaxya-4-相关性质：2.3、幂函数、幂函数1、几种幂函数的图象：-5-基本初等函数的图像和基本性质表表1指数函数0,1xyaaa对数数函数log0,1ayx aa定义域xR0,x值域0,yyR图象过定点(0,1)过定点(1,0)减函数增函数减函数增函数(,0)(1,)(0,)(0,1)xyxy 时，时，(,0)(0,1)(0,)(1,)xyxy 时，时，(0,1)(0,)(1,)(,0)xyxy 时，时，(0,1)(,0)(1,)(0,)xyxy 时，时，性质abababab表表 2幂函数()yxRpq00111-6-pq为奇数为奇数奇函数pq为奇数为偶数pq为偶数为奇数偶函数第一象限性质减函数增函数过定点01（，）第三章、函数的应用3.1.1、方程的根与函数的零点、方程的根与函数的零点1、方程有实根函数的图象与轴有交点 函数有零点.0 xf xfy x xfy 2、性质：如果函数在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，xfy ba,0bfaf函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.xfy ba,bac,0cfc 0 xf3.1.2、用二分法求方程的近似解、用二分法求方程的近似解1、掌握二分法.3.2.1、几类不同增长的函数模型、几类不同增长的函数模型3.2.2、函数模型的应用举例、函数模型的应用举例1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.必修必修 2 2 数学数学知识点知识点1、空间几何体的结构常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。3、空间几何体的表面积与体积-7-圆柱侧面积；圆锥侧面积：圆台侧面积：lrS2侧面lrS侧面lRlrS侧面体积公式：；hSV柱体hSV31锥体hSSSSV下下上上台体31球的表面积和体积：.32344RVRS球球，第二章：点、直线、平面之间的位置关系1、公理 1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。2、公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。3、公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。4、公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行.5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。6、线线位置关系：平行、相交、异面。7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。8、面面位置关系：平行、相交。9、线面平行：判定判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。性质性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。10、面面平行：判定判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。性质性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。11、线面垂直：定义定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。判定判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。性质性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。12、面面垂直：定义定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。判定判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。性质性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。第三章：直线与方程第三章：直线与方程1、倾斜角与斜率：1212tanxxyyk 2、直线方程：点斜式：斜截式：两点式：00 xxkyybkxy121121xxxxyyyy一般式：0CByAx-8-3、对于直线：有：222111:,:bxkylbxkyl；和相交；和重合；.212121/bbkkll1l2l12kk1l2l2121bbkk12121kkll4、对于直线：有：0:,0:22221111CyBxAlCyBxAl；和相交；1221122121/CBCBBABAll1l2l1221BABA和重合；.1l2l12211221CBCBBABA0212121BBAAll5、两点间距离公式：21221221yyxxPP6、点到直线距离公式：2200BACByAxd第四章：圆与方程第四章：圆与方程1、圆的方程：标准方程：222rbyax一般方程：.022FEyDxyx2、两圆位置关系：21OOd 外离：；外切：；相交：；rRdrRdrRdrR内切：；内含：.rRdrRd3、空间中两点间距离公式：21221221221zzyyxxPP必修必修 3 3 数学数学知识点知识点第一章：算法第一章：算法1、算法三种语言：自然语言、流程图、程序语言；2、算法的三种基本结构：顺序结构、选择结构、循环结构3、流程图中的图框：起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；4、循环结构中常见的两种结构：-9-当型循环结构、直到型循环结构5、基本算法语句：赋值语句：“=”（有时也用“”）输入输出语句：“INPUT”“PRINT”条件语句：If Then Else End If循环语句：“Do”语句Do Until End“While”语句 While WEnd算法案例：辗转相除法同余思想第二章：统计第二章：统计1、抽样方法：简单随机抽样（总体个数较少）系统抽样（总体个数较多）分层抽样（总体中差异明显）注意：在 N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为。Nn2、总体分布的估计：一表二图：频率分布表数据详实 频率分布直方图分布直观 频率分布折线图便于观察总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。茎叶图：茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的药重复写。3、总体特征数的估计：平均数：；nxxxxxnL321取值为的频率分别为，则其平均数为；nxxx,21Lnppp,21LnnpxpxpxL2211注意：频率分布表计算平均数要取组中值。方差与标准差：一组样本数据nxxx,21L方差：；标准差：212)(1niixxns21)(1niixxns注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。线性回归方程变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；制作散点图，判断线性相关关系-10-线性回归方程：（最小二乘法）abxy1221niiiniix ynxybxnxaybx 注意：线性回归直线经过定点。),(yx第三章：概率1、随机事件及其概率：事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；必然事件、不可能事件、随机事件的特点；随机事件 A 的概率：；1)(0,)(APnmAP2、古典概型：基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；古典概型的特点：所有的基本事件只有有限个；每个基本事件都是等可能发生。古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有 n 个，事件 A 包含了其中的 m 个基本事件，则事件A 发生的概率。nmAP)(3、几何概型：几何概型的特点：所有的基本事件是无限个；每个基本事件都是等可能发生。几何概型概率计算公式：；的测度的测度DdAP)(其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。4、互斥事件：不能同时发生的两个事件称为互斥事件；如果事件任意两个都是互斥事件，则称事件彼此互斥。nAAA,21LnAAA,21L如果事件 A，B 互斥，那么事件 A+B 发生的概率，等于事件 A，B 发生的概率的和，即：)()()(BPAPBAP如果事件彼此互斥，则有：nAAA,21L)()()()(2121nnAPAPAPAAAPLL对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。事件的对立事件记作AA)(1)(,1)()(APAPAPAP对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。必修必修 4 4 数学数学知识点知识点-11-第一章、三角函数1.1.1、任意角、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角终边相同的角的集合：.Zkk,21.1.2、弧度制、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.2、.rl3、弧长公式：.RRnl1804、扇形面积公式：.lRRnS2136021.2.1、任意角的三角函数、任意角的三角函数1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：yxP,.xyxytan,cos,sin2、设点为角终边上任意一点，那么：（设）00,yxA2020yxr ，.ry0sinrx0cos00tanxy3、，在四个象限的符号和三角函数线的画法.sincostan4、诱导公式一：（其中：）.tan2tan,cos2cos,sin2sinkkkZk 5、特殊角 0，30，45，60，90，180，270的三角函数值.643sincostan1.2.2、同角三角函数的基本关系式、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：.1cossin222、商数关系：.cossintan1.31.3、三角函数的诱导公式、三角函数的诱导公式-12-1、诱导公式二：.tantan,coscos,sinsin2、诱导公式三：.tantan,coscos,sinsin3、诱导公式四：.tantan,coscos,sinsin4、诱导公式五：.sin2cos,cos2sin5、诱导公式六：.sin2cos,cos2sin1.4.11.4.1、正弦、余弦函数的图象、正弦、余弦函数的图象1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.1.4.21.4.2、正弦、余弦函数的性质、正弦、余弦函数的性质1、周期函数定义：对于函数，如果存在一个非零常数 T，使得当取定义域内的每一个值时，都有 xfx，那么函数就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期.xfTxf xf -13-1.4.31.4.3、正切函数的图象与性质、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.1.51.5、函数、函数的图象的图象xAysin1、能够讲出函数的图象和函数的图象之间的平移伸缩变换关系.xysinbxAysin2、对于函数：有：振幅 A，周期，初相，相位，频率.0,0sinAbxAy2Tx21Tf1.61.6、三角函数模型的简单应用、三角函数模型的简单应用1、要求熟悉课本例题.第二章、平面向量2.1.1、向量的物理背景与概念、向量的物理背景与概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.2.1.2、向量的几何表示、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作；长度为零的向量叫做零向量；长度等于 1ABABAB个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.2.1.32.1.3、相等向量与共线向量、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.2.2.12.2.1、向量加法运算及其几何意义、向量加法运算及其几何意义1、三角形法则和平行四边形法则.2、.ba ba 2.2.22.2.2、向量减法运算及其几何意义、向量减法运算及其几何意义1、与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量.aa2.2.32.2.3、向量数乘运算及其几何意义、向量数乘运算及其几何意义1、规定：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：，它的长度和方向规定如下：aa ,当时,的方向与的方向相同；当时,的方向与的方向相反.aa0aa0aa2、平面向量共线定理：向量与 共线，当且仅当有唯一一个实数，使.0aabab2.3.12.3.1、平面向量基本定理、平面向量基本定理-14-1、平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且21,eea只有一对实数，使.21,2211eea2.3.22.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的正交分解及坐标表示1、.yxjyi xa,2.3.32.3.3、平面向量的坐标运算、平面向量的坐标运算1、设，则：2211,yxbyxa ，2121,yyxxba2121,yyxxba11,yxa.1221/yxyxba2、设，则：.2211,yxByxA1212,yyxxAB2.3.42.3.4、平面向量共线的坐标表示、平面向量共线的坐标表示1、设，则 332211,yxCyxByxA线段 AB 中点坐标为，ABC 的重心坐标为.222121,yyxx33321321,yyyxxx2.4.12.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义、平面向量数量积的物理背景及其含义1、.2、在方向上的投影为：.cosbabaabcosa3、.4、.5、.22aa 2aa 0baba2 2.4 4.2 2、平平面面向向量量数数量量积积的的坐坐标标表表示示、模模、夹夹角角1、设，则：2211,yxbyxa 2121yyxxba2121yxa02121yyxxba2、设，则：.2211,yxByxA212212yyxxAB2.5.12.5.1、平面几何中的向量方法、平面几何中的向量方法2.5.22.5.2、向量在物理中的应用举例、向量在物理中的应用举例第三章、三角恒等变换3.1.13.1.1、两角差的余弦公式、两角差的余弦公式1、sinsincoscoscos2、记住 15的三角函数值：sincostan12426426323.1.23.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式-15-1、2、sinsincoscoscossincoscossinsin3、4、.sincoscossinsintantan1tantantan5、.tantan1tantantan3.1.33.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、，变形：.cossin22sin2sincossin212、，22sincos2cos1cos222sin21 变形 1：，变形 2：.22cos1cos222cos1sin23、.2tan1tan22tan3.23.2、简单的三角恒等变换、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.必修必修 5 5 数学数学知识点知识点第一章：解三角形第一章：解三角形1、正弦定理：.RCcBbAa2sinsinsin2、余弦定理：-16-.cos2,cos2,cos2222222222CabbacBaccabAbccba.2cos,2cos,2cos222222222abcbaCacbcaBbcacbA3、三角形面积公式：BacAbcCabSABCsin21sin21sin21第二章：数列第二章：数列1、数列中与之间的关系：nanS.1,1,11时当时，当nSSnSannn2、等差数列：定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。通项公式：dnaan)1(1求和公式：22111naadnnnaSnn3、等比数列定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。通项公式：11nnqaa求和公式：qqaqqaaSnnn11111第三章：不等式第三章：不等式1、时取等号当且仅当时，当baabbaba20,2、时取等号当且仅当时，当baabbaRba2,223、变形：-17-2,2222baabbaab