高中数学圆锥曲线知识点总结.pdf
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1、-1-高考数学圆锥曲线部分知识点梳理高考数学圆锥曲线部分知识点梳理1 1、方程的曲线:方程的曲线:在平面直角坐标系中,如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系:若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0,则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上f(x0,y 0)=0;点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上f(x0,y0)0。两条曲线的交点:若曲线 C1,C2的方程分别为 f1
2、(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点 P0(x0,y0)是 C1,C2的交点方程组有 n 个不同的实数解,两条曲线就有 n 个不0),(0),(002001yxfyxf同的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点。二、圆:二、圆:1 1、定义:、定义:点集MOM=r,其中定点 O 为圆心,定长 r 为半径.2 2、方程:、方程:(1)标准方程:圆心在 c(a,b),半径为 r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点,半径为 r 的圆方程是 x2+y2=r2(2)一般方程:当 D2+E2-4F0 时,一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程,圆心为半径
3、是。配方,将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 化为)2,2(ED2422FED(x+)2+(y+)2=2D2E44F-ED22当 D2+E2-4F=0 时,方程表示一个点(-,-);2D2E当 D2+E2-4F0 时,方程不表示任何图形.(3)点与圆的位置关系 已知圆心 C(a,b),半径为 r,点 M 的坐标为(x0,y0),则MCr点 M 在圆 C 内,MC=r点 M 在圆 C 上,MCr点 M 在圆C 内,其中MC=。2020b)-(ya)-(x(4)直线和圆的位置关系:直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:直线-2-与圆相交有两个公共点;直线与圆相切有一个公共点;直线与圆相离没有
4、公共点。直线和圆的位置关系的判定:(i)判别式法;(ii)利用圆心 C(a,b)到直线Ax+By+C=0 的距离与半径 r 的大小关系来判定。22BACBbAad三、圆锥曲线的统一定义:三、圆锥曲线的统一定义:平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数 e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点 F(c,0)称为焦点,定直线 l 称为准线,正常数 e 称为离心率。当 0e1 时,轨迹为椭圆;当 e=1 时,轨迹为抛物线;当 e1 时,轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线:四、椭圆、双曲线、抛物线:椭圆双曲线抛物线定义1
5、到两定点 F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值 e的点的轨迹.(0e1)1到两定点 F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a1)与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集:(MMF1+MF2=2a,F 1F22a点集:MMF1-MF2.=2a,F2F22a.点集M MF=点M 到直线 l 的距离.-3-图形方程标准方程12222byax(ba 0)12222byax(a0,b0)pxy22参数方程为离心角)参数(sincosbyax为离心角)参数(tansecbyaxptyptx222(t 为参数)范围axa,byb|x|a,yR
6、x0中心原点 O(0,0)原点 O(0,0)顶点(a,0),(a,0),(0,b),(0,b)(a,0),(a,0)(0,0)对称轴x 轴,y 轴;长轴长 2a,短轴长2bx 轴,y 轴;实轴长 2a,虚轴长 2b.x 轴焦点F1(c,0),F2(c,0)F1(c,0),F2(c,0)0,2(pF准 线x=ca2准线垂直于长轴,且在椭圆外.x=ca2准线垂直于实轴,且在两顶点的内侧.x=-2p准线与焦点位于顶点两侧,且到顶点的距-4-离相等.焦距2c (c=22ba)2c (c=22ba)离心率)10(eace)1(eacee=1【备注备注 1】1】双曲线:双曲线:等轴双曲线:双曲线222ay
7、x称为等轴双曲线,其渐近线方程为xy,离心率2e.共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.2222byax与2222byax互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:02222byax.共渐近线的双曲线系方程:)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时,它的双曲线方程可设为)0(2222byax.【备注备注 2】2】抛物线:抛物线:(1)抛物线=2px(p0)的焦点坐标是(,0),准线方程 x=-,开口向右;抛物2y2p2p线=-2px(p0)的焦点坐标是(-,0),准线方程 x=,开口向左;抛物线2y2p2
8、p=2py(p0)的焦点坐标是(0,),准线方程 y=-,开口向上;2x2p2p抛物线=-2py(p0)的焦点坐标是(0,-),准线方程 y=,开口向下.2x2p2p(2)抛物线=2px(p0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离;抛物线=-2y20pxMF2y2px(p0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离02xpMF(3)设抛物线的标准方程为=2px(p0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为,2y2p-5-顶点到准线的距离,焦点到准线的距离为 p.2p(4)已知过抛物线=2px(p0)焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,则线段 AB 称为2y焦点弦,设 A(x1,y1),B(x
9、2,y2),则弦长=+p 或(为直线 ABAB21xx 2sin2pAB 的倾斜角),(叫做焦半径).221pyy2,41221pxAFpxxAF五、坐标的变换:五、坐标的变换:(1)坐标变换:在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.(2)坐标轴的平移:坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴。(3)坐标轴的平移公式:设平面内任意一点 M,它在原坐标系 xOy 中的坐标是9x,y),在新坐标系 x Oy中的坐标是.
10、设新坐标系的原点 O在原坐标),(yx系 xOy 中的坐标是(h,k),则 或 kyyhxxkyyhxx叫做平移(或移轴)公式.(4)中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表:方 程焦 点焦 线对称轴+=122h)-(xa22k)-(yb(c+h,k)x=+hca2x=hy=k椭圆+=122h)-(xb22k)-(ya(h,c+k)y=+kca2x=hy=k-=122h)-(xa22k)-(yb(c+h,k)x=+kca2x=hy=k双曲线-=122k)-(ya22h)-(xb(h,c+h)y=+kca2x=hy=k-6-(y-k)2=2p(x-h)(+h,k)2px=-+h2py=k(y-
11、k)2=-2p(x-h)(-+h,k)2px=+h2py=k(x-h)2=2p(y-k)(h,+k)2py=-+k2px=h抛物线(x-h)2=-2p(y-k)(h,-+k)2py=+k2px=h六、椭圆的常用结论:六、椭圆的常用结论:1.点 P 处的切线 PT 平分PF1F2 在点 P 处的外角.2.PT 平分PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是.000(,)P xy22
12、221xyab0P00221x xy yab6.若在椭圆外,则过作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点000(,)P xy22221xyab0P弦 P1P2的直线方程是.00221x xy yab7.椭圆(ab0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点22221xyab,则椭圆的焦点角形的面积为.12FPF122tan2F PFSb8.椭圆(ab0)的焦半径公式,(,22221xyab10|MFaex20|MFaex1(,0)Fc).2(,0)F c00(,)M xy9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交
13、相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MFNF.10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点,-7-A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MFNF.11.AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦,M为 AB 的中点,则22221xyab),(00yx,即。22OMABbkka 0202yaxbKAB12.若在椭圆内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是000(,)P xy22221xyab;2200002222x xy yxyabab【推论推论】:1、若在椭圆内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是。000(,)P xy2222
14、1xyab22002222x xy yxyabab椭圆(abo)的两个顶点为,,与 y 轴平行的直线交椭圆22221xyab1(,0)Aa2(,0)A a于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是.22221xyab2、过椭圆(a0,b0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交22221xyab00(,)A xy椭圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且(常数).2020BCb xka y3、若 P 为椭圆(ab0)上异于长轴端点的任一点,F1,F 2是焦点,22221xyab,,则.12PFF21PF Ftant22accoac4、设椭圆(ab0)的两个焦点为 F1、F2,P(异
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