大学高等数学知识点-(3).pdf

1/23大学高等数学知识点整理大学高等数学知识点整理公式，用法合集公式，用法合集极限与连续极限与连续一.数列函数:1.类型:(1)数列:*;*()naf n1()nnaf a (2)初等函数:(3)分段函数:*;*;*0102()(),()xxf xF xxxfx00()(),xxf xF xxxa (4)复合(含)函数:f(),()yf uux (5)隐式(方程):(,)0F x y (6)参式(数一,二):()()xx tyy t (7)变限积分函数:()(,)xaF xf x t dt (8)级数和函数(数一,三):0(),nnnS xa xx 2.特征(几何):(1)单调性与有界性(判别);(单调定号)()f x000,()()()xxxf xf x(2)奇偶性与周期性(应用).3.反函数与直接函数:11()()()yf xxfyyfx二.极限性质:1.类型:*;*(含);*(含)limnnalim()xf xx 0lim()xxf x0 xx 2.无穷小与无穷大(注:无穷量):3.未定型:000,1,0,0,0 4.性质:*有界性,*保号性,*归并性三.常用结论:,11nn 1(0)1naa 1()max(,)nnnnabca b c00!naan2/23,1(0)xx 0lim1xxxlim0nxxxelnlim0nxxx,0limln0nxxx0,xxex 四.必备公式:1.等价无穷小:当时,()0u x;sin()()u xu x:tan()()u xu x:211 cos()()2u xux:;()1()u xeu x:ln(1()()u xu x:(1()1()u xu x:;arcsin()()u xu x:arctan()()u xu x:2.泰勒公式:(1);2211()2!xexxo x (2);221ln(1)()2xxxo x(3);341sin()3!xxxo x (4);24511cos1()2!4!xxxo x(5).22(1)(1)1()2!xxxo x 五.常规方法:前提:(1)准确判断(其它如:);(2)变量代换(如:)0,1,0M00,0,0,1tx 1.抓大弃小,()2.无穷小与有界量乘积()(注:)M1sin1,xx 3.处理(其它如:)1000,4.左右极限(包括):x (1);(2);(3)分段函数:,1(0)xx()xex 1(0)xex x xmax()f x 5.无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注:非零因子)6.洛必达法则(1)先”处理”,后法则(最后方法);(注意对比:与)001lnlim1xxxx0lnlim1xxxx3/23(2)幂指型处理:(如:)()()ln()()v xv xu xu xe1111111(1)xxxxxeeee(3)含变限积分;(4)不能用与不便用 7.泰勒公式(皮亚诺余项):处理和式中的无穷小 8.极限函数:(分段函数)()lim(,)nf xF x n六.非常手段 1.收敛准则:(1)()lim()nxaf nf x (2)双边夹:*,*?nnnbac,?nnb ca (3)单边挤:*1()nnaf a21?aa?naM()0?fx 2.导数定义(洛必达?):00lim()xffxxVVV 3.积分和:,10112lim()()()()nnffff x dxnnnnL 4.中值定理:lim()()lim()xxf xaf xaf 5.级数和(数一三):(1)收敛,(如)(2),1nnalim0nna2!limnnnnn121lim()nnnnaaaaL(3)与同敛散na11()nnnaa七.常见应用:1.无穷小比较(等价,阶):*(),(0)?nf xkxx:(1)(1)()(0)(0)(0)0,(0)nnffffaL()()!nnnaaf xxxxnn:(2)00()xxnf t dtkt dt:2.渐近线(含斜):(1)()lim,lim()xxf xabf xaxx()f xaxb:(2),()()f xaxb10 x 3.连续性:(1)间断点判别(个数);(2)分段函数连续性(附:极限函数,连续性)()fx八.上连续函数性质,a b4/23 1.连通性:(注:,“平均”值:)(,),fa bm M01 0()(1)()()f af bf x 2.介值定理:(附:达布定理)(1)零点存在定理:(根的个数);()()0f a f b 0()0f x (2).()0()0 xaf xf x dx第二讲第二讲:导数及应用导数及应用(一元一元)(含中值定理含中值定理)一.基本概念:1.差商与导数:;()fx 0()()limxf xxf xxVVV0()fx000()()limxxf xf xxx(1)(注:连续)0()(0)(0)limxf xffx0()lim(xf xA fx(0)0,(0)ffA (2)左右导:;00(),()fxfx(3)可导与连续;(在处,连续不可导;可导)0 x xx x2.微分与导数:()()()()()ff xxf xfxxoxdffx dxVVVV (1)可微可导;(2)比较与的大小比较(图示);,f df0二.求导准备:1.基本初等函数求导公式;(注:)()f x2.法则:(1)四则运算;(2)复合法则;(3)反函数1dxdyy三.各类求导(方法步骤):1.定义导:(1)与;(2)分段函数左右导;(3)()fa()x afx0()()limhf xhf xhh(注:,求:及的连续性)00()(),xxF xf xxxa0(),()fxfx()fx 2.初等导(公式加法则):(1),求:(图形题);()uf g x0()u x(2),求:(注:)()()xaF xf t dt()F x(,),(,),()xbbaaaf x t dtf x t dtf t dt (3),求及 (待定系数)0102(),()xxf xyxxfx00(),()fxfx0()fx5/233.隐式()导:(,)0f x y 22,dy d ydxdx(1)存在定理;(2)微分法(一阶微分的形式不变性).(3)对数求导法.4.参式导(数一,二):,求:()()xx tyy t22,dy d ydxdx 5.高阶导公式:()()nfx;()()axnnaxea e()11!()()nnnb nabxabx;()(sin)sin()2nnaxaaxn()(cos)cos()2nnaxaaxn()()1(1)2(2)()nnnnnnuvuvC uvC uvL 注:与泰勒展式:()(0)nf2012()nnf xaa xa xa xLL()(0)!nnfan四.各类应用:1.斜率与切线(法线);(区别:上点和过点的切线)()yf x0M0M 2.物理:(相对)变化率速度;3.曲率(数一二):(曲率半径,曲率中心,曲率圆)23()(1()fxfx 4.边际与弹性(数三):(附:需求,收益,成本,利润)五.单调性与极值(必求导)1.判别(驻点):0()0fx (1);()0()fxf xZ()0()fxf x (2)分段函数的单调性 (3)零点唯一;驻点唯一(必为极值,最值).()0fx()0fx 2.极值点:(1)表格(变号);(由的特点)()fx0002()()()lim0,lim0,lim00 xxxxxxfxfxfxxxxx (2)二阶导()0()0fx 注(1)与的匹配(图形中包含的信息);f,fff6/23 (2)实例:由确定点“”的特点.()()()()fxx f xg x0 xx (3)闭域上最值(应用例:与定积分几何应用相结合,求最优)3.不等式证明()()0f x (1)区别:*单变量与双变量?*与?,xa b,),(,)xax (2)类型:*;*0,()0ff a0,()0ff b *;*0,(),()0ff af b00()0,()0,()0fxfxf x (3)注意:单调性端点值极值凹凸性.(如:)max()()f xMfxM4.函数的零点个数:单调介值六.凹凸与拐点(必求导!):1.表格;()y 0()0fx 2.应用:(1)泰勒估计;(2)单调;(3)凹凸.f七.罗尔定理与辅助函数:(注:最值点必为驻点)1.结论:()()()()0F bF aFf 2.辅助函数构造实例:(1)()f()()xaF xf t dt(2)()()()()0()()()fgfgF xf x g x(3)()()()()()0()()f xfgfgF xg x (4);()()()0ff()()()x dxF xef x3.有个零点有个零点()()0()nff x1n(1)()nfx2 4.特例:证明的常规方法:令有个零点(待定)()()nfa()()()nF xf xP x1n()nP x 5.注:含时,分家!(柯西定理)12,6.附(达布定理):在可导,使:()f x,a b(),()cfafb ,a b()fc八.拉格朗日中值定理 1.结论:;()()()()()f bf afba()(),()0ab 7/23 2.估计:()ffxVV九.泰勒公式(连接之间的桥梁),f ff1.结论:;2300000011()()()()()()()()2!3!f xf xfxxxfxxxfxx2.应用:在已知或值时进行积分估计()f a()f b十.积分中值定理(附:广义):注:有定积分(不含变限)条件时使用第三讲第三讲:一元积分学一元积分学一.基本概念:1.原函数:()F x (1);(2);(3)()()F xf x()()f x dxdF x()()f x dxF xc 注(1)(连续不一定可导);()()xaF xf t dt(2)(连续)()()()()xxaaxt f t dtf t dtf x()f x 2.不定积分性质:(1);()()f x dxf x()()df x dxf x dx(2);()()fx dxf xc()()df xf xc二.不定积分常规方法 1.熟悉基本积分公式 2.基本方法:拆(线性性)1212()()()()k f xk g x dxkf x dxkg x dx 3.凑微法(基础):要求巧,简,活()221sincosxx如:211(),ln,2dxdxd axbxdxdxdxax2dxdxx221,(1 ln)(ln)1xdxdxx dxd xxx 4.变量代换:(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换):1sin,1xxtaxbttetx(2)作用与引伸(化简):21xxt 8/23 5.分部积分(巧用):(1)含需求导的被积函数(如);ln,arctan,()xaxxf t dt(2)“反对幂三指”:,ln,naxnx e dxxxdx(3)特别:(*已知的原函数为;*已知)()xf x dx()f x()F x()()fxF x6.特例:(1);(2)快速法;(3)11sincossincosaxbxdxaxbx(),()sinkxp x e dxp xaxdx()()nv xdxux三.定积分:1.概念性质:(1)积分和式(可积的必要条件:有界,充分条件:连续)(2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)*;*220(0)8aaxx dx aa()02baabxdx (3)附:,)()()baf x dxM ba()()()bbaaf x g x dxMg x dx (4)定积分与变限积分,反常积分的区别联系与侧重2:变限积分的处理(重点)()()xaxf t dt (1)可积连续,连续可导f f (2);()xaf t dt()f x()()()xxaaxt f t dtf t dt()()()xaf x dtxa f x (3)由函数参与的求导,极限,极值,积分(方程)问题()()xaF xf t dt3.公式:(在上必须连续!)NL()()()baf x dxF bF a()F x,a b 注:(1)分段积分,对称性(奇偶),周期性 (2)有理式,三角式,根式 (3)含的方程.()baf t dt4.变量代换:()()()baf x dxf u t u t dt(1),00()()()aaf x dxf ax dx xat (2)(如:)0()()()()()aaaaaf x dxfx dx xtf xfx dx 4411 sindxx (3),2201sinnnnnIxdxIn9/23 (4);,2200(sin)(cos)fx dxfx dx200(sin)2(sin)fx dxfx dx (5),00(sin)(sin)2xfx dxfx dx5.分部积分 (1)准备时“凑常数”(2)已知或时,求()fx()xaf x()baf x dx 6.附:三角函数系的正交性:222000sincossincos0nxdxnxdxnxmxdx2200sinsincoscos()0nxmxdxnxmxdx nm222200sincosnxdxnxdx四.反常积分:1.类型:(1)(连续)(),(),()aaf x dxf x dxf x dx()f x (2):(在处为无穷间断)()baf x dx()f x,()xaxb xc acb 2.敛散;3.计算:积分法公式极限(可换元与分部)NL 4.特例:(1);(2)11pdxx101pdxx五.应用:(柱体侧面积除外)1.面积,(1)(2);()();baSf xg x dx1()dcSfy dy (3);(4)侧面积:21()2Srd22()1()baSf xfx dx 2.体积:(1);(2)22()()bxaVfxgx dx12()2()dbycaVfydyxf x dx (3)与0 x xV0y yV 3.弧长:22()()dsdxdy (1)(),yf xxa b21()basfx dx (2)12(),()xx ttt tyy t2122()()ttsxtyt dt10/23 (3):(),rr 22()()srrd 4.物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,5.平均值(中值定理):(1);1,()baf a bf x dxba(2),(以为周期:)0()0)limxxf t dtfx fT0()Tf t dtfT第四讲第四讲:微分方程微分方程一.基本概念 1.常识:通解,初值问题与特解(注:应用题中的隐含条件)2.变换方程:(1)令(如欧拉方程)()xx tyDy (2)令(如伯努利方程)(,)(,)uu x yyy x uy3.建立方程(应用题)的能力二.一阶方程:1.形式:(1);(2);(3)(,)yf x y(,)(,)0M x y dxN x y dy()y ab 2.变量分离型:()()yf x g y (1)解法:()()()()dyf x dxG yF xCg y(2)“偏”微分方程:;(,)zf x yx 3.一阶线性(重点):()()yp x yq x(1)解法(积分因子法):00()01()()()()xxp x dxxxM xeyM x q x dxyM x (2)变化:;()()xp y xq y(3)推广:伯努利(数一)()()yp x yq x y 4.齐次方程:()yyx (1)解法:(),()ydudxuuxuuxuux 11/23(2)特例:111222a xb ycdydxa xb yc 5.全微分方程(数一):且(,)(,)0M x y dxN x y dyNMxydUMdxNdyUC 6.一阶差分方程(数三):1*0()()xxxxxnxxycayayb p xyx Q x b三.二阶降阶方程 1.:()yf x12()yF xc xc 2.:令(,)yf x y()(,)dpyp xyf x pdx 3.:令(,)yf y y()(,)dpyp yypf y pdy四.高阶线性方程:()()()()a x yb x yc x yf x 1.通解结构:(1)齐次解:01122()()()yxc y xc yx (2)非齐次特解:1122()()()*()y xc y xc yxyx 2.常系数方程:()aybycyf x (1)特征方程与特征根:20abc (2)非齐次特解形式确定:待定系数;(附:的算子法)()axf xke (3)由已知解反求方程.3.欧拉方程(数一):,令2()ax ybxycyf x2(1),txex yD Dy xyDy五.应用(注意初始条件):1.几何应用(斜率,弧长,曲率,面积,体积);注:切线和法线的截距 2.积分等式变方程(含变限积分);可设()(),()0 xaf x dxF x F a3.导数定义立方程:含双变量条件的方程()f xyL12/23 4.变化率(速度)5.22dvd xFmadtdt6.路径无关得方程(数一):QPxy7.级数与方程:(1)幂级数求和;(2)方程的幂级数解法:201201,(0),(0)yaa xa xayayL8.弹性问题(数三)第五讲第五讲:多元微分与二重积分多元微分与二重积分一.二元微分学概念 1.极限,连续,单变量连续,偏导,全微分,偏导连续(必要条件与充分条件),(1)000000(,),(,),(,)xyff xx yyff xx yff xyy VVVV (2)lim,lim,limyxxyfffffxy (3)(判别可微性)22,lim()()xyfdffxfydfxy VV VV 注:点处的偏导数与全微分的极限定义:(0,0)00(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim,(0,0)limxyxyf xffyfffxy2.特例:(1):点处可导不连续;22(0,0)(,)0,(0,0)xyxyf x y(0,0)(2):点处连续可导不可微;22(0,0)(,)0,(0,0)xyf x yxy(0,0)二.偏导数与全微分的计算:1.显函数一,二阶偏导:(,)zf x y 注:(1)型;(2);(3)含变限积分yx00(,)xxyz 2.复合函数的一,二阶偏导(重点):(,),(,)zf u x yv x y13/23熟练掌握记号的准确使用12111222,fffff 3.隐函数(由方程或方程组确定):(1)形式:*;*(存在定理)(,)0F x y z(,)0(,)0F x y zG x y z(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性):(要求:二阶导)0 xyzF dxF dyF dz (3)注:与的及时代入00(,)xy0z (4)会变换方程.三.二元极值(定义?);1.二元极值(显式或隐式):(1)必要条件(驻点);(2)充分条件(判别)2.条件极值(拉格朗日乘数法)(注:应用)(1)目标函数与约束条件:,(或:多条件)(,)(,)0zf x yx y (2)求解步骤:,求驻点即可.(,)(,)(,)L x yf x yx y 3.有界闭域上最值(重点).(1)(,)(,)(,)0zf x yMDx yx y (2)实例:距离问题四.二重积分计算:1.概念与性质(“积”前工作):(1),Dd (2)对称性(熟练掌握):*域轴对称;*奇偶对称;*字母轮换对称;*重心坐标;Df (3)“分块”积分:*;*分片定义;*奇偶12DDDU(,)f x y(,)f x y 2.计算(化二次积分):(1)直角坐标与极坐标选择(转换):以“”为主;D (2)交换积分次序(熟练掌握).3.极坐标使用(转换):22()f xy 附:;222:()()DxaybR2222:1xyDab双纽线222222()()xyaxy:1Dxy 4.特例:14/23 (1)单变量:或()f x()f y (2)利用重心重心求积分:要求:题型,且已知的面积与重心12()Dk xk y dxdyDDS(,)x y5.无界域上的反常二重积分(数三)五:一类积分的应用():():;f M dDL 1.“尺寸”:(1);(2)曲面面积(除柱体侧面);DDdS 2.质量,重心(形心),转动惯量;3.为三重积分,格林公式,曲面投影作准备.第六讲第六讲:无穷级数无穷级数(数一数一,三三)一.级数概念 1.定义:(1),(2);(3)(如)na12nnSaaaLlimnnS1(1)!nnn 注:(1);(2)(或);(3)“伸缩”级数:收敛收敛.limnnanq1na1()nnaana 2.性质:(1)收敛的必要条件:;lim0nna (2)加括号后发散,则原级数必发散(交错级数的讨论);(3);221,0nnnnss assss二.正项级数 1.正项级数:(1)定义:;(2)特征:;(3)收敛(有界)0na nS ZnSM 2.标准级数:(1),(2),(3)1pnlnknn1lnknn 3.审敛方法:(注:,)222abablnlnbaab (1)比较法(原理):(估计),如;npkan:10()nf x dx()()P nQ n (2)比值与根值:*(应用:幂级数收敛半径计算)1limnnnuulimnnnu三.交错级数(含一般项):()1(1)nna0na 1.“审”前考察:(1)(2);(3)绝对(条件)收敛?0?na 0?na 15/23 注:若,则发散1lim1nnnaanu 2.标准级数:(1);(2);(3)11(1)nn11(1)npn11(1)lnnpn 3.莱布尼兹审敛法(收敛?)(1)前提:发散;(2)条件:;(3)结论:条件收敛.na,0nnaa 1(1)nna 4.补充方法:(1)加括号后发散,则原级数必发散;(2).221,0nnnnss assss 5.注意事项:对比;之间的敛散关系na(1)nnana2na四.幂级数:1.常见形式:(1),(2),(3)nna x0()nnaxx20()nnaxx 2.阿贝尔定理:(1)结论:敛;散*xx*0Rxx*xx*0Rxx (2)注:当条件收敛时*xx*Rxx 3.收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备)注(1)与同收敛半径,nnnnana xxnnna x (2)与之间的转换nna x20()nnaxx 4.幂级数展开法:(1)前提:熟记公式(双向,标明敛域)23111,2!3!xexxxR L24111()1,22!4!xxeexxR L35111(),23!5!xxeexxxR L;3511sin,3!5!xxxxR L2411cos1,2!4!xxxR L;211,(1,1)1xxxx L211,(1,1)1xxxx L2311ln(1),(1,123xxxxx L2311ln(1),1,1)23xxxxx L16/233511arctan,1,135xxxxx L (2)分解:(注:中心移动)(特别:)()()()f xg xh x021,xxaxbxc (3)考察导函数:()()g xfx0()()(0)xf xg x dxf (4)考察原函数:0()()xg xf x dx()()f xg x 5.幂级数求和法(注:*先求收敛域,*变量替换):(1)(),S x (2),(注意首项变化)()S x L(3),()()S x (4)的微分方程()()S xS x(5)应用:.()(1)nnnnaa xS xaS 6.方程的幂级数解法 7.经济应用(数三):(1)复利:;(2)现值:(1)nAp(1)nAp五.傅里叶级数(数一):()2T 1.傅氏级数(三角级数):01()cossin2nnnaS xanxbnx 2.充分条件(收敛定理):Dirichlet(1)由(和函数)()()f xS x (2)1()()()2S xf xf x 3.系数公式:01()cos1(),1,2,3,1()sinnnaf xnxdxaf x dxnbf xnxdxL 4.题型:(注:)()(),?f xS x x (1)且(分段表示)2T(),(,f xx L17/23 (2)或(,x 0,2 x (3)正弦或余弦0,x*(4)()0,xT*5.2Tl 6.附产品:()f x 01()cossin2nnnaS xanxbnx00001()cossin2nnnaS xanxbnx001()()2f xf x 第七讲第七讲:向量向量,偏导应用与方向导偏导应用与方向导(数一数一)一.向量基本运算1.;(平行)12k ak brrbavv2.;(单位向量(方向余弦)ar01(cos,cos,cos)aaauu vvv3.;(投影:;垂直:;夹角:)a br r()aa bbavv vvv0aba bvvv v(,)a ba ba bv vv vSv v4.;(法向:;面积:)a brr,na ba bvv vv vSa bYv v二.平面与直线1.平面 (1)特征(基本量):0000(,)(,)MxyznA B Cv (2)方程(点法式):000:()()()00A xxB yyC zzAxByCzD (3)其它:*截距式;*三点式1xyzabc 2.直线L (1)特征(基本量):0000(,)(,)Mxyzsm n pv (2)方程(点向式):000:xxyyzzLmnp (3)一般方程(交面式):1111222200AxB yC zDA xB yC zD18/23 (4)其它:*二点式;*参数式;(附:线段的参数表示:)AB121121121()(),0,1()xaaa tybbb t tzccc t 3.实用方法:(1)平面束方程:11112222:()0AxB yC zDA xB yC zD (2)距离公式:如点到平面的距离000(,)Mxy000222AxByCzDdABC(3)对称问题;(4)投影问题.三.曲面与空间曲线(准备)1.曲面 (1)形式:或;(注:柱面)(,)0F x y z(,)zf x y(,)0f x y (2)法向(或)(,)(cos,cos,cos)xyznF F Fv(,1)xynzz v 2.曲线(1)形式,或;():()()xx tyy tzz t(,)0(,)0F x y zG x y z(2)切向:(或)(),(),()sx ty tz tr12snnvu v u u v3.应用 (1)交线,投影柱面与投影曲线;(2)旋转面计算:参式曲线绕坐标轴旋转;(3)锥面计算.四.常用二次曲面 1.圆柱面:222xyR2.球面:2222xyzR 变形:,2222xyRz222()zRxy,2222xyzaz2222000()()()xxyyzzR19/233.锥面:22zxy 变形:,222xyz22zaxy4.抛物面:,22zxy 变形:,22xyz22()zaxy5.双曲面:2221xyz 6.马鞍面:,或22zxyzxy五.偏导几何应用1.曲面 (1)法向:,注:(,)0(,)xyzF x y znF F Fv(,)(,1)xyzf x ynffv (2)切平面与法线:2.曲线 (1)切向:(),(),()(,)xx tyy tzz tsx y zv (2)切线与法平面 3.综合:,:00FG12snnvu v u u v六.方向导与梯度(重点)1.方向导(方向斜率):lv(1)定义(条件):(,)(cos,cos,cos)lm n pv (2)计算(充分条件:可微):coscoscosxyzuuuul附:0(,),cos,sin zf x ylu rcossinxyzfflr (3)附:2222cos2sincossinxxxyyyffffl 2.梯度(取得最大斜率值的方向):Gu r20/23 (1)计算:;()(,)(,)xya zf x yGgradzffu v()(,)(,)xyzb uf x y zGgraduu u uu v (2)结论;()aul0G lu ru r取为最大变化率方向;()blGu rv为最大方向导数值.()c0()G Mu r第八讲第八讲:三重积分与线面积分三重积分与线面积分(数一数一)一.三重积分()fdV 1.域的特征(不涉及复杂空间域):(1)对称性(重点):含:关于坐标面;关于变量;关于重心(2)投影法:22212(,)(,)(,)xyDx y xyRz x yzzx y(3)截面法:222()(,)()D zx y xyRzazb(4)其它:长方体,四面体,椭球 2.的特征:f (1)单变量,(2),(3),(4)()f z22()f xy222()f xyzfaxbyczd 3.选择最适合方法:(1)“积”前:*;*利用对称性(重点)dv (2)截面法(旋转体):(细腰或中空,)()baD zIdzfdxdy()f z22()f xy (3)投影法(直柱体):21(,)(,)xyzx yzx yDIdxdyfdz (4)球坐标(球或锥体):,22000sin()RIddfd (5)重心法():faxbyczd()Iaxbyczd V4.应用问题:(1)同第一类积分:质量,质心,转动惯量,引力 (2)公式Gauss21/23二.第一类线积分()Lfds1.“积”前准备:(1);(2)对称性;(3)代入“”表达式LdsLL 2.计算公式:22(),(),()()()()baLxx tta bfdsf x ty txtyt dtyy t 3.补充说明:(1)重心法:;()()Laxbyc dsaxbyc L (2)与第二类互换:LLAdsA dru v vu vv 4.应用范围 (1)第一类积分 (2)柱体侧面积,Lz x y ds三.第一类面积分()fdS1.“积”前工作(重点):(1);(代入)dS:(,)0F x y z (2)对称性(如:字母轮换,重心)(3)分片2.计算公式:(1)22(,),(,)(,(,)1xyxyxyDzz x yx yDIf x y z x yzz dxdy(2)与第二类互换:A ndSA dSu v vu vu v四:第二类曲线积分(1):(其中有向)(,)(,)LP x y dxQ x y dyL 1.直接计算:,()()xx tyy t2112:()()ttt ttIPx tQy t dt 常见(1)水平线与垂直线;(2)221xy 2.Green 公式:(1);()LDQPPdxQdydxdyxy (2):*换路径;*围路径()L ABPQyyPQyy22/23 (3)(但内有奇点)(变形)L xyQPD*LL 3.推广(路径无关性):PQyy(1)(微分方程)(道路变形原理)PdxQdydu()BAL ABu(2)与路径无关(待定):微分方程.(,)(,)LP x y dxQ x y dyf 4.应用功(环流量):(有向,)IF dru vvv(,)FP Q Ru v(,)drdsdx dy dzvv五.第二类曲面积分:1.定义:,或(其中含侧)PdydzQdzdxRdxdy(,)R x y z dxdy2.计算:(1)定向投影(单项):,其中(特别:水平面);(,)R x y z dxdy:(,)zz x y 注:垂直侧面,双层分隔(2)合一投影(多项,单层):(,1)xynzz v()()xyPdydzQdzdxRdxdyPzQzR dxdy (3)化第一类(不投影):(cos,cos,cos)nv(coscoscos)PdydzQdzdxRdxdyPQRdS3.公式及其应用:Gauss (1)散度计算:PQRdivAxyzu v (2)公式:封闭外侧,内无奇点GaussPdydzQdzdxRdxdydivAdvu v (3)注:*补充“盖”平面:;*封闭曲面变形(含奇点)0 4.通量与积分:(有向,)A dS u vu vnv,AP Q Ru v(,)dSndSdydz dzdx dxdyu vv六:第二类曲线积分(2):(,)(,)(,)P x y z dxQ x y z dyR x y z dz 1.参数式曲线:直接计算(代入)23/23 注(1)当时,可任选路径;(2)功(环流量):0rotA u vvIF dru vv 2.Stokes 公式:(要求:为交面式(有向),所张曲面含侧)(1)旋度计算:(,)(,)RAP Q Rxyz u vu v (2)交面式(一般含平面)封闭曲线:同侧法向或;00FG,xyznF F Fv,xyzG G G(3)Stokes 公式(选择):()A drAndSu vvu vv ()化为;()化为;()化为aPdydzQdzdxRdxdyb(,)R x y z dxdycfdS