小学奥数几何(燕尾模型).doc
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1、燕尾定理例题精讲燕尾定理:在三角形中,相交于同一点,那么,上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为和的形状很象燕子的尾巴,所以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题 证明燕尾定理: 如右图,是上任意一点,请你说明:【解析】 三角形与三角形同高,分别以、为底,所以有;三角形与三角形同高,;三角形与三角形同高,所以;综上可得, . 【例 1】 (2009年第七届希望杯五年级一试试题)如图,三角形的面积是,是的中点,点在上,且,与交于点则四边形的面积等
2、于 【解析】 方法一:连接,根据燕尾定理,, 设份,则份,份,份,如图所标所以方法二:连接,由题目条件可得到,所以,而所以则四边形的面积等于【巩固】如图,已知,三角形的面积是,求阴影部分面积.【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值,其他条件给出的实际上是比例的关系,由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形,所以我们需要对它进行改造,那么我们需要连一条辅助线,(法一)连接,因为,三角形的面积是30,所以,根据燕尾定理,, 所以,所以阴影部分面积是 (法二)连接,由题目条件可得到,所以, , 而所以阴影部分的面积为【巩固】如图,三角形的面积是,
3、在上,点在上,且,,与 交于点则四边形的面积等于 【解析】 连接,根据燕尾定理,, 设份,则份,份,份,份,所以【巩固】如图,已知,与相交于点,则被分成的部分面积各占 面积的几分之几?【解析】 连接,设份,则其他部分的面积如图所示,所以份,所以四部分按从小到大各占面积的【巩固】(年香港圣公会数学竞赛)如图所示,在中,与相交于点,若的面积为,则的面积等于 【解析】 方法一:连接由于,所以,由蝴蝶定理知,所以方法二:连接设份,根据燕尾定理标出其他部分面积,所以【巩固】如图,三角形的面积是,与相交于点,请写出这部分的面积各是多少?【解析】 连接,设份,则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示,所以
4、,【巩固】如图,在上,在上,且,,与交于点四边形的面积等于,则三角形的面积 【解析】 连接,根据燕尾定理,, 设份,则份,份,份, 份,份,如图所标,所以份,份所以【巩固】三角形中,是直角,已知,那么三角形(阴影部分)的面积为多少?【解析】 连接的面积为根据燕尾定理,;同理设面积为1份,则的面积也是1份,所以的面积是份,而的面积就是份,也是4份,这样的面积为份,所以的面积为【巩固】如图,长方形的面积是平方厘米,是的中点阴影部分的面积是多少平方厘米?【解析】 设份,则根据燕尾定理其他面积如图所示平方厘米.【例 2】 如图所示,在四边形中,四边形的面积是,那么平行四边形的面积为_ 【解析】 连接,
5、根据燕尾定理,设,则其他图形面积,如图所标,所以.【例 3】 是边长为厘米的正方形,、分别是、边的中点,与交于,则四边形的面积是_平方厘米 【解析】 连接、,设份,根据燕尾定理得份,份,则份,份,所以【例 4】 如图,正方形的面积是平方厘米,是的中点,是的中点,四边形 的面积是_平方厘米 【解析】 连接,根据沙漏模型得,设份,根据燕尾定理份,份,因此份,所以(平方厘米).【例 5】 如图所示,在中,是的中点,那么 【解析】 连接由于,所以,根据燕尾定理,【巩固】在中, ,求? 【解析】 连接因为,根据燕尾定理,即;又,所以则,所以【巩固】在中, ,求?【解析】 题目求的是边的比值,一般来说可以
6、通过分别求出每条边的值再作比值,也可以通过三角形的面积比来做桥梁,但题目没告诉我们边的长度,所以应该通过面积比而得到边长的比本题的图形一看就联想到燕尾定理,但两个燕尾似乎少了一个,因此应该补全,所以第一步要连接连接因为,根据燕尾定理,即;又,所以则,所以【例 6】 (2009年清华附中入学测试题)如图,四边形是矩形,、分别是、上的点,且,与相交于,若矩形的面积为,则与的面积之和为 【解析】 (法1)如图,过做的平行线交于,则,所以,即,所以且,故,则所以两三角形面积之和为(法2)如上右图,连接、根据燕尾定理,而,所以,则,所以两个三角形的面积之和为15【例 7】 如右图,三角形中,求【解析】
7、根据燕尾定理得 (都有的面积要统一,所以找最小公倍数)所以【点评】本题关键是把的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!【巩固】如右图,三角形中,求.【解析】 根据燕尾定理得 (都有的面积要统一,所以找最小公倍数)所以【巩固】如图,,则 【解析】 根据燕尾定理有,所以【巩固】如右图,三角形中,求.【解析】 根据燕尾定理得 (都有的面积要统一,所以找最小公倍数)所以【点评】本题关键是把的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力
8、量!【例 8】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图,三角形中,且三角形的面积是,则三角形的面积为_,三角形的面积为_,三角形的面积为_ 【分析】 连接、由于,所以,故;根据燕尾定理,所以,则,;那么;同样分析可得,则,所以,同样分析可得,所以,【巩固】 如右图,三角形中,且三角形的面积是,求三角形的面积【解析】 连接BG,份根据燕尾定理,得(份),(份),则(份),因此,同理连接AI、CH得,所以三角形GHI的面积是1,所以三角形ABC的面积是19【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图,中,那么的面积是阴影三角形面积的 倍 【分析】 如图,连接根据燕尾定理
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