同济大学线性代数第六版答案(全).pdf
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1、同济大学线性代数第六版答案(全)第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)381141102 解 381141102 2(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1)2481644 (2)bacacbcba 解 bacacbcba acbbaccbabbbaaaccc 3abca3b3c3 (3)222111cbacba 解 222111cbacba bc2ca2ab2ac2ba2cb2 (ab)(bc)(ca)(4)yxyxxyxyyxyx 解 yxyxxyxyyxyx x(xy)yyx(xy)(xy)yxy3(xy)3x3 3xy(xy)y33x2 yx3y
2、3x3 2(x3y3)2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为 0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为 4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为 5 3 2 3 1 4 2 4 1,2 1 (4)2 4 1 3 解 逆序数为 3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1)2 4 (2n)解 逆序数为 2)1(nn 3 2(1 个)5 2 5 4(2 个)7 2 7 4 7 6(3 个)(2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2)(n1 个)(6)1 3 (2n1)(2n)(2n2)2 解 逆序数为 n(n
3、1)3 2(1 个)5 2 5 4(2 个)(2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2)(n1 个)4 2(1 个)6 2 6 4(2 个)(2n)2(2n)4(2n)6 (2n)(2n2)(n1 个)3 写出四阶行列式中含有因子 a11a23的项 解 含因子 a11a23的项的一般形式为(1)ta11a23a3ra4s其中 rs 是 2 和 4 构成的排列 这种排列共有两个 即 24 和 42 所以含因子 a11a23的项分别是 (1)ta11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)ta11a23a34a42(1)2a11a23a34a
4、42a11a23a34a42 4 计算下列各行列式 (1)71100251020214214 解 71100251020214214010014231020211021473234cccc34)1(143102211014 14310221101401417172001099323211cccc (2)2605232112131412 解 2605232112131412260503212213041224cc041203212213041224rr 0000003212213041214rr (3)efcfbfdecdbdaeacab 解 efcfbfdecdbdaeacabecbecbec
5、badf abcdefadfbce4111111111 (4)dcba100110011001 解 dcba100110011001dcbaabarr10011001101021 dcaab101101)1)(1(1201011123cdcadaabdcc abcdabcdad1 cdadab111)1)(1(23 5 证明:(1)(ab)3;1112222bbaababa 证明 1112222bbaababa00122222221213ababaabaabacccc (ab)3 abababaab22)1(2221321)(abaabab (2);yxzxzyzyxbabzaybyaxbxa
6、zbyaxbxazbzaybxazbzaybyax)(33 证明 bzaybyaxbxazbyaxbxazbzaybxazbzaybyax bzaybyaxxbyaxbxazzbxazbzayybbzaybyaxzbyaxbxazybxazbzayxa bzayyxbyaxxzbxazzybybyaxzxbxazyzbzayxa22 zyxyxzxzybyxzxzyzyxa33 yxzxzyzyxbyxzxzyzyxa33 yxzxzyzyxba)(33 (3);0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222ddddccccbbbba
7、aaa 证明 (c4c3 c3c2 c2c1得)2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(ddddccccbbbbaaaa (c4c3 c3c2得)5232125232125232125232122222ddddccccbbbbaaaa 022122212221222122222ddccbbaa (4)444422221111dcbadcbadcba (ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd);证明 444422221111dcbadcbadcba )()()(0)()()(001111222222222addac
8、cabbaddaccabbadacab )()()(111)()(222addaccabbdcbadacab )()(00111)()(abdbddabcbccbdbcadacab )()(11)()()()(abddabccbdbcadacab =(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)(5)xna1xn1 an1xan 1221 1 000 00 1000 01axaaaaxxxnnn L 证明 用数学归纳法证明 当 n2 时 命题成立 2121221axaxaxaxD 假设对于(n1)阶行列式命题成立 即 Dn1xn1a1 xn2 an2xan1 则 Dn按第一列展开
9、 有 1 11 00 100 01)1(11 xxaxDDnnnn xD n1anxna1xn1 an1xan 因此 对于 n 阶行列式命题成立 6 设 n 阶行列式 Ddet(aij),把 D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转 依次得 nnnnaaaaD11111 11112 nnnnaaaaD 11113 aaaaDnnnn 证明 D3D DDDnn2)1(21)1(证明因为 Ddet(aij)所以 nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaD2211111111111 )1()1()1(331122111121nnnnnnnnaaaaaaaa DDnnnn2)1()1()2(
10、21)1()1(同理可证 nnnnnnaaaaD )1(11112)1(2DDnnTnn2)1(2)1()1()1(DDDDDnnnnnnnn)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7 计算下列各行列式(Dk为 k 阶行列式)(1),其中对角线上元素都是 a 未写出的元素aaDn1 1都是 0 解 (按第 n 行展开)aaaaaDn0 0010 000 00 0000 0010 00 )1()1(10 000 00 0000 0010 000)1(nnnaaa)1()1(2 )1(nnnaaa anan2an2(a21)nnnnnaaa)2)(2(1 )1()1(2);xaa
11、axaaaxDn 解 将第一行乘(1)分别加到其余各行 得 axxaaxxaaxxaaaaxDn 000 0 00 0 再将各列都加到第一列上 得 x(n1)a(xa)n1axaxaxaaaanxDn 0000 0 000 00 )1(3);1 11 1 )()1()()1(1111 naaanaaanaaaDnnnnnnn 解 根据第 6 题结果 有 nnnnnnnnnnaaanaaanaaaD)()1()()1(11 11)1(1112)1(1 此行列式为范德蒙德行列式 112)1(1)1()1()1(jinnnnjaiaD 112)1()()1(jinnnji 1121 )1(2)1()
12、()1()1(jinnnnnji 11)(jinji (4);nnnnndcdcbabaD 11112 解 (按第 1 行展开)nnnnndcdcbabaD 11112 nnnnnnddcdcbabaa000 011111111L 0 0)1(1111111112cdcdcbababnnnnnnn 再按最后一行展开得递推公式 D2nandnD2n2bncnD2n2 即 D2n(andnbncn)D2n2 于是 niiiiinDcbdaD222)(而 111111112cbdadcbaD所以 niiiiincbdaD12)(5)Ddet(aij)其中 aij|ij|;解 aij|ij|0 432
13、1 4 01233 10122 21011 3210)det(nnnnnnnnaDijn 0 4321 1 11111 11111 11111 1111 2132 nnnnrrrr 1 5242321 0 22210 02210 00210 0001 1213 nnnnncccc (1)n1(n1)2n2 (6),其中 a1a2 an0 nnaaaD 1 11 1 111 1121 解 nnaaaD 1 11 1 111 1121 nnnnaaaaaaaaacccc 10 0001 000 100 0100 0100 00 11332212132 11113121121110 00011 00
14、0 00 11000 01100 001 nnnaaaaaaaa niinnaaaaaaaa111113121121100 00010 000 00 10000 01000 001 )11)(121niinaaaaL 8 用克莱姆法则解下列方程组 (1)01123253224254321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx 解 因为 14211213513241211111D 142112105132412211151D284112035122412111512D 426110135232422115113D14202132132212151114D所以 111DDx222
15、DDx333DDx144DDx (2)150650650651655454343232121xxxxxxxxxxxxx 解 因为 6655100065100065100065100065D 150751001651000651000650000611D114551010651000650000601000152D 70351100650000601000051001653D39551000601000051000651010654D 21211000051000651000651100655D所以 66515071x66511452x6657033x6653954x6652124x 9 问 取
16、何值时 齐次线性方程组有非0200321321321xxxxxxxxx零解?解 系数行列式为 1211111D 令 D0 得 0 或1 于是 当0 或1 时该齐次线性方程组有非零解 10 问取何值时 齐次线性方程组有非零解?0)1(0)3(2042)1(321321321xxxxxxxxx 解 系数行列式为 101112431111132421D (1)3(3)4(1)2(1)(3)(1)32(1)23 令 D0 得 0 2 或3 于是 当0 2 或3 时 该齐次线性方程组有非零解 第二章矩阵及其运算 1 已知线性变换 3213321232113235322yyyxyyyxyyyx求从变量 x
17、1 x2 x3到变量 y1 y2 y3的线性变换 解 由已知 221321323513122yyyxxx故 3211221323513122xxxyyy321423736947yyy 321332123211423736947xxxyxxxyxxxy 2 已知两个线性变换 32133212311542322yyyxyyyxyyx323312211323zzyzzyzzy求从 z1 z2 z3到 x1 x2 x3的线性变换 解 由已知 221321514232102yyyxxx321310102013514232102zzz 321161109412316zzz所以有 3213321232111
18、610941236zzzxzzzxzzzx 3 设 求 3AB2A 及 ATB 111111111A150421321B 解 1111111112150421321111111111323AAB 2294201722213211111111120926508503 092650850150421321111111111BAT 4 计算下列乘积 (1)127075321134 解 127075321134102775132)2(7111237449635 (2)123)321(解 (132231)(10)123)321(3)21(312 解 )21(31223)1(321)1(122)1(263
19、2142 (4)20413121013143110412 解 204131210131431104126520876 (5)321332313232212131211321)(xxxaaaaaaaaaxxx 解 321332313232212131211321)(xxxaaaaaaaaaxxx (a11x1a12x2a13x3 a12x1a22x2a23x3 a13x1a23x2a33x3)321xxx 322331132112233322222111222xxaxxaxxaxaxaxa 5 设 问 3121A2101B (1)ABBA 吗?解 ABBA 因为 所以 ABBA 6443AB83
20、21BA (2)(AB)2A22ABB2吗?解 (AB)2A22ABB2 因为 5222BA 52225222)(2BA2914148但 43011288611483222BABA27151610所以(AB)2A22ABB2 (3)(AB)(AB)A2B2吗?解 (AB)(AB)A2B2 因为 5222BA1020BA 906010205222)(BABA而 718243011148322BA故(AB)(AB)A2B2 6 举反列说明下列命题是错误的 (1)若 A20 则 A0 解 取 则 A20 但 A0 0010A (2)若 A2A 则 A0 或 AE 解 取 则 A2A 但 A0 且 A
21、E 0011A (3)若 AXAY 且 A0 则 XY 解 取 0001A1111X1011Y则 AXAY 且 A0 但 XY 7 设 求 A2 A3 Ak 101A 解 12011011012A 1301101120123AAA 101kAk 8 设 求 Ak 001001A 解 首先观察 0010010010012A222002012 3232323003033AAA 43423434004064AAA 545345450050105AAA kAkkkkkkkkkk0002)1(121 用数学归纳法证明 当 k2 时 显然成立 假设 k 时成立,则 k1 时,0010010002)1(12
22、11kkkkkkkkkkkkAAA 11111100)1(02)1()1(kkkkkkkkkk由数学归纳法原理知 kkkkkkkkkkkA0002)1(121 9 设 A B 为 n 阶矩阵,且 A 为对称矩阵,证明 BTAB 也是对称矩阵 证明 因为 ATA 所以 (BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB 从而 BTAB 是对称矩阵 10 设 A B 都是 n 阶对称矩阵,证明 AB 是对称矩阵的充分必要条件是 ABBA 证明 充分性 因为 ATA BTB 且 ABBA 所以 (AB)T(BA)TATBTAB 即 AB 是对称矩阵 必要性 因为 ATA BTB 且(AB)TAB 所以
23、 AB(AB)TBTATBA 11 求下列矩阵的逆矩阵 (1)5221 解|A|1 故 A1存在 因为5221A 1225*22122111AAAAA故 *|11AAA 1225 (2)cossinsincos 解|A|10 故 A1存在 因为cossinsincosA cossinsincos*22122111AAAAA所以 *|11AAA cossinsincos (3)145243121 解|A|20 故 A1存在 因为145243121A 214321613024*332313322212312111AAAAAAAAAA所以 *|11AAA 1716213213012 (4)(a1a2
24、 an 0)naaaO0021 解 由对角矩阵的性质知naaaAO0021 naaaA10011211O 12 解下列矩阵方程 (1)12643152X 解 126431521X1264215380232 (2)234311111012112X 解 1111012112234311X 03323210123431131 32538122 (3)101311022141X 解 11110210132141X 210110131142121 2101036612104111 (4)021102341010100001100001010X 解 1101010000102110234110000101
25、0X 010100001021102341100001010201431012 13 利用逆矩阵解下列线性方程组 (1)3532522132321321321xxxxxxxxx 解 方程组可表示为 321153522321321xxx故 0013211535223211321xxx从而有 001321xxx (2)05231322321321321xxxxxxxxx 解 方程组可表示为 012523312111321xxx故 3050125233121111321xxx故有 305321xxx 14 设 AkO(k 为正整数)证明(EA)1EAA2 Ak1 证明 因为 AkO 所以 EAkE
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