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实用标准文案文档大全大学高等数学知识点整理大学高等数学知识点整理公式，用法合集公式，用法合集极限与连续极限与连续一.数列函数:1.类型:(1)数列:*;*()naf n1()nnaf a (2)初等函数:(3)分段函数:*;*;*0102()(),()xxf xF xxxfx00()(),xxf xF xxxa (4)复合(含)函数:f(),()yf uux (5)隐式(方程):(,)0F x y (6)参式(数一,二):()()xx tyy t (7)变限积分函数:()(,)xaF xf x t dt (8)级数和函数(数一,三):0(),nnnS xa xx 2.特征(几何):(1)单调性与有界性(判别);(单调定号)()f x000,()()()xxxf xf x (2)奇偶性与周期性(应用).3.反函数与直接函数:11()()()yf xxfyyfx二.极限性质:1.类型:*;*(含);*(含)limnnalim()xf xx 0lim()xxf x0 xx 2.无穷小与无穷大(注:无穷量):3.未定型:000,1,0,0,0 4.性质:*有界性,*保号性,*归并性三.常用结论:,11nn 1(0)1naa 1()max(,)nnnnabca b c00!naan实用标准文案文档大全 ,1(0)xx 0lim1xxxlim0nxxxelnlim0nxxx ,0limln0nxxx0,xxex 四.必备公式:1.等价无穷小:当时,()0u x ;sin()()u xu x:tan()()u xu x:211 cos()()2u xux:;()1()u xeu x:ln(1()()u xu x:(1()1()u xu x:;arcsin()()u xu x:arctan()()u xu x:2.泰勒公式:(1);2211()2!xexxo x (2);221ln(1)()2xxxo x (3);341sin()3!xxxo x (4);24511cos1()2!4!xxxo x (5).22(1)(1)1()2!xxxo x 五.常规方法:前提:(1)准确判断(其它如:);(2)变量代换(如:0,1,0M00,0,0,)1tx 1.抓大弃小,()2.无穷小与有界量乘积()(注:)M1sin1,xx 3.处理(其它如:)1000,4.左右极限(包括):x (1);(2);(3)分段函数:,1(0)xx()xex 1(0)xex x xmax()f x实用标准文案文档大全 5.无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注:非零因子)6.洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(最后方法);(注意对比:与)001lnlim1xxxx0lnlim1xxxx (2)幂指型处理:(如:)()()ln()()v xv xu xu xe1111111(1)xxxxxeeee (3)含变限积分;(4)不能用与不便用 7.泰勒公式(皮亚诺余项):处理和式中的无穷小 8.极限函数:(分段函数)()lim(,)nf xF x n六.非常手段 1.收敛准则:(1)()lim()nxaf nf x (2)双边夹:*,*?nnnbac,?nnb ca (3)单边挤:*1()nnaf a21?aa?naM()0?fx 2.导数定义(洛必达?):00lim()xffxxVVV 3.积分和:,10112lim()()()()nnffff x dxnnnnL 4.中值定理:lim()()lim()xxf xaf xaf 5.级数和(数一三):(1)收敛,(如)(2),1nnalim0nna2!limnnnnn121lim()nnnnaaaaL (3)与同敛散na11()nnnaa七.常见应用:1.无穷小比较(等价,阶):*(),(0)?nf xkxx:(1)(1)()(0)(0)(0)0,(0)nnffffaL()()!nnnaaf xxxxnn:(2)00()xxnf t dtkt dt:2.渐近线(含斜):(1)()lim,lim()xxf xabf xaxx()f xaxb:(2),()()f xaxb10 x实用标准文案文档大全 3.连续性:(1)间断点判别(个数);(2)分段函数连续性(附:极限函数,连续()fx性)八.上连续函数性质,a b 1.连通性:(注:,“平均”值:(,),fa bm M01)0()(1)()()f af bf x 2.介值定理:(附:达布定理)(1)零点存在定理:(根的个数);()()0f a f b 0()0f x (2).()0()0 xaf xf x dx 第二讲第二讲:导数及应用导数及应用(一元一元)()(含中值定理含中值定理)一.基本概念:1.差商与导数:;()fx 0()()limxf xxf xxVVV0()fx000()()limxxf xf xxx (1)(注:连续)0()(0)(0)limxf xffx0()lim(xf xA fx(0)0,(0)ffA (2)左右导:;00(),()fxfx (3)可导与连续;(在处,连续不可导;可导)0 x xx x 2.微分与导数:()()()()()ff xxf xfxxoxdffx dxVVVV (1)可微可导;(2)比较与的大小比较(图示);,f df0二.求导准备:1.基本初等函数求导公式;(注:)()f x 2.法则:(1)四则运算;(2)复合法则;(3)反函数1dxdyy三.各类求导(方法步骤):1.定义导:(1)与;(2)分段函数左右导;(3)()fa()x afx0()()limhf xhf xhh (注:,求:及的连续性)00()(),xxF xf xxxa0(),()fxfx()fx实用标准文案文档大全 2.初等导(公式加法则):(1),求:(图形题);()uf g x0()u x (2),求:(注:()()xaF xf t dt()F x)(,),(,),()xbbaaaf x t dtf x t dtf t dt (3),求及 (待定系数)0102(),()xxf xyxxfx00(),()fxfx0()fx 3.隐式()导:(,)0f x y 22,dy d ydxdx (1)存在定理;(2)微分法(一阶微分的形式不变性).(3)对数求导法.4.参式导(数一,二):,求:()()xx tyy t22,dy d ydxdx 5.高阶导公式:()()nfx ;()()axnnaxea e()11!()()nnnb nabxabx ;()(sin)sin()2nnaxaaxn()(cos)cos()2nnaxaaxn ()()1(1)2(2)()nnnnnnuvuvC uvC uvL 注:与泰勒展式:()(0)nf2012()nnf xaa xa xa xLL()(0)!nnfan四.各类应用:1.斜率与切线(法线);(区别:上点和过点的切线)()yf x0M0M 2.物理:(相对)变化率速度;3.曲率(数一二):(曲率半径,曲率中心,曲率圆)23()(1()fxfx 4.边际与弹性(数三):(附:需求,收益,成本,利润)五.单调性与极值(必求导)1.判别(驻点):0()0fx (1);()0()fxf xZ()0()fxf x实用标准文案文档大全 (2)分段函数的单调性 (3)零点唯一;驻点唯一(必为极值,最值).()0fx()0fx 2.极值点:(1)表格(变号);(由的特()fx0002()()()lim0,lim0,lim00 xxxxxxfxfxfxxxxx点)(2)二阶导()0()0fx 注(1)与的匹配(图形中包含的信息);f,fff (2)实例:由确定点“”的特点.()()()()fxx f xg x0 xx (3)闭域上最值(应用例:与定积分几何应用相结合,求最优)3.不等式证明()()0f x (1)区别:*单变量与双变量?*与?,xa b,),(,)xax (2)类型:*;*0,()0ff a0,()0ff b *;*0,(),()0ff af b00()0,()0,()0fxfxf x (3)注意:单调性端点值极值凹凸性.(如:)max()()f xMfxM 4.函数的零点个数:单调介值六.凹凸与拐点(必求导!):1.表格;()y 0()0fx 2.应用:(1)泰勒估计;(2)单调;(3)凹凸.f七.罗尔定理与辅助函数:(注:最值点必为驻点)1.结论:()()()()0F bF aFf 2.辅助函数构造实例:(1)()f()()xaF xf t dt (2)()()()()0()()()fgfgF xf x g x (3)()()()()()0()()f xfgfgF xg x (4);()()()0ff()()()x dxF xef x实用标准文案文档大全 3.有个零点有个零点()()0()nff x1n(1)()nfx2 4.特例:证明的常规方法:令有个零点(待()()nfa()()()nF xf xP x1n()nP x定)5.注:含时,分家!(柯西定理)12,6.附(达布定理):在可导,使:()f x,a b(),()cfafb ,a b()fc八.拉格朗日中值定理 1.结论:;()()()()()f bf afba()(),()0ab 2.估计:()ffxVV九.泰勒公式(连接之间的桥梁),f ff 1.结论:;2300000011()()()()()()()()2!3!f xf xfxxxfxxxfxx 2.应用:在已知或值时进行积分估计()f a()f b十.积分中值定理(附:广义):注:有定积分(不含变限)条件时使用 第三讲第三讲:一元积分学一元积分学一.基本概念:1.原函数:()F x (1);(2);(3)()()F xf x()()f x dxdF x()()f x dxF xc 注(1)(连续不一定可导);()()xaF xf t dt (2)(连续)()()()()xxaaxt f t dtf t dtf x()f x 2.不定积分性质:(1);()()f x dxf x()()df x dxf x dx (2);()()fx dxf xc()()df xf xc二.不定积分常规方法 1.熟悉基本积分公式 2.基本方法:拆(线性性)1212()()()()k f xk g x dxkf x dxkg x dx 3.凑微法(基础):要求巧,简,活()221sincosxx实用标准文案文档大全 如:211(),ln,2dxdxd axbxdxdxdxax2dxdxx 221,(1 ln)(ln)1xdxdxx dxd xxx 4.变量代换:(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换):1sin,1xxtaxbttetx (2)作用与引伸(化简):21xxt 5.分部积分(巧用):(1)含需求导的被积函数(如);ln,arctan,()xaxxf t dt (2)“反对幂三指”:,ln,naxnx e dxxxdx (3)特别:(*已知的原函数为;*已知)()xf x dx()f x()F x()()fxF x 6.特例:(1);(2)快速法;(3)11sincossincosaxbxdxaxbx(),()sinkxp x e dxp xaxdx()()nv xdxux三.定积分:1.概念性质:(1)积分和式(可积的必要条件:有界,充分条件:连续)(2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)*;*220(0)8aaxx dx aa()02baabxdx (3)附:,)()()baf x dxM ba()()()bbaaf x g x dxMg x dx (4)定积分与变限积分,反常积分的区别联系与侧重 2:变限积分的处理(重点)()()xaxf t dt (1)可积连续,连续可导f f (2);()xaf t dt()f x()()()xxaaxt f t dtf t dt()()()xaf x dtxa f x (3)由函数参与的求导,极限,极值,积分(方程)问题()()xaF xf t dt实用标准文案文档大全 3.公式:(在上必须连续!)NL()()()baf x dxF bF a()F x,a b 注:(1)分段积分,对称性(奇偶),周期性 (2)有理式,三角式,根式 (3)含的方程.()baf t dt 4.变量代换:()()()baf x dxf u t u t dt (1),00()()()aaf x dxf ax dx xat (2)(如:)0()()()()()aaaaaf x dxfx dx xtf xfx dx 4411 sindxx (3),2201sinnnnnIxdxIn (4);,2200(sin)(cos)fx dxfx dx200(sin)2(sin)fx dxfx dx (5),00(sin)(sin)2xfx dxfx dx 5.分部积分 (1)准备时“凑常数”(2)已知或时,求()fx()xaf x()baf x dx 6.附:三角函数系的正交性:222000sincossincos0nxdxnxdxnxmxdx 2200sinsincoscos()0nxmxdxnxmxdx nm 222200sincosnxdxnxdx四.反常积分:1.类型:(1)(连续)(),(),()aaf x dxf x dxf x dx()f x (2):(在处为无穷间断)()baf x dx()f x,()xaxb xc acb 2.敛散;3.计算:积分法公式极限(可换元与分部)NL 4.特例:(1);(2)11pdxx101pdxx五.应用:(柱体侧面积除外)1.面积,实用标准文案文档大全 (1)(2);()();baSf xg x dx1()dcSfy dy (3);(4)侧面积:21()2Srd22()1()baSf xfx dx 2.体积:(1);(2)22()()bxaVfxgx dx12()2()dbycaVfydyxf x dx (3)与0 x xV0y yV 3.弧长:22()()dsdxdy (1)(),yf xxa b21()basfx dx (2)12(),()xx ttt tyy t2122()()ttsxtyt dt (3):(),rr 22()()srrd 4.物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,5.平均值(中值定理):(1);1,()baf a bf x dxba (2),(以为周期:)0()0)limxxf t dtfx fT0()Tf t dtfT 第四讲第四讲:微分方程微分方程一.基本概念 1.常识:通解,初值问题与特解(注:应用题中的隐含条件)2.变换方程:(1)令(如欧拉方程)()xx tyDy (2)令(如伯努利方程)(,)(,)uu x yyy x uy 3.建立方程(应用题)的能力二.一阶方程:1.形式:(1);(2);(3)(,)yf x y(,)(,)0M x y dxN x y dy()y ab 2.变量分离型:()()yf x g y (1)解法:()()()()dyf x dxG yF xCg y实用标准文案文档大全 (2)“偏”微分方程:;(,)zf x yx 3.一阶线性(重点):()()yp x yq x (1)解法(积分因子法):00()01()()()()xxp x dxxxM xeyM x q x dxyM x (2)变化:;()()xp y xq y (3)推广:伯努利(数一)()()yp x yq x y 4.齐次方程:()yyx (1)解法:(),()ydudxuuxuuxuux (2)特例:111222a xb ycdydxa xb yc 5.全微分方程(数一):且(,)(,)0M x y dxN x y dyNMxy dUMdxNdyUC 6.一阶差分方程(数三):1*0()()xxxxxnxxycayayb p xyx Q x b三.二阶降阶方程 1.:()yf x12()yF xc xc 2.:令(,)yf x y()(,)dpyp xyf x pdx 3.:令(,)yf y y()(,)dpyp yypf y pdy四.高阶线性方程:()()()()a x yb x yc x yf x 1.通解结构:(1)齐次解:01122()()()yxc y xc yx (2)非齐次特解:1122()()()*()y xc y xc yxyx 2.常系数方程:()aybycyf x实用标准文案文档大全 (1)特征方程与特征根:20abc (2)非齐次特解形式确定:待定系数;(附:的算子法)()axf xke (3)由已知解反求方程.3.欧拉方程(数一):,令2()ax ybxycyf x2(1),txex yD Dy xyDy五.应用(注意初始条件):1.几何应用(斜率,弧长,曲率,面积,体积);注:切线和法线的截距 2.积分等式变方程(含变限积分);可设()(),()0 xaf x dxF x F a 3.导数定义立方程:含双变量条件的方程()f xyL 4.变化率(速度)5.22dvd xFmadtdt 6.路径无关得方程(数一):QPxy 7.级数与方程:(1)幂级数求和;(2)方程的幂级数解法:201201,(0),(0)yaa xa xayayL 8.弹性问题(数三)第五讲第五讲:多元微分与二重积分多元微分与二重积分一.二元微分学概念 1.极限,连续,单变量连续,偏导,全微分,偏导连续(必要条件与充分条件),(1)000000(,),(,),(,)xyff xx yyff xx yff xyy VVVV (2)lim,lim,limyxxyfffffxy (3)(判别可微性)22,lim()()xyfdffxfydfxy VV VV 注:点处的偏导数与全微分的极限定义:(0,0)实用标准文案文档大全 00(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim,(0,0)limxyxyf xffyfffxy 2.特例:(1):点处可导不连续;22(0,0)(,)0,(0,0)xyxyf x y(0,0)(2):点处连续可导不可微;22(0,0)(,)0,(0,0)xyf x yxy(0,0)二.偏导数与全微分的计算:1.显函数一,二阶偏导:(,)zf x y 注:(1)型;(2);(3)含变限积分yx00(,)xxyz 2.复合函数的一,二阶偏导(重点):(,),(,)zf u x yv x y 熟练掌握记号的准确使用12111222,fffff 3.隐函数(由方程或方程组确定):(1)形式:*;*(存在定理)(,)0F x y z(,)0(,)0F x y zG x y z (2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性):(要求:二阶导)0 xyzF dxF dyF dz (3)注:与的及时代入00(,)xy0z (4)会变换方程.三.二元极值(定义?);1.二元极值(显式或隐式):(1)必要条件(驻点);(2)充分条件(判别)2.条件极值(拉格朗日乘数法)(注:应用)(1)目标函数与约束条件:,(或:多条件)(,)(,)0zf x yx y (2)求解步骤:,求驻点即可.(,)(,)(,)L x yf x yx y 3.有界闭域上最值(重点).(1)(,)(,)(,)0zf x yMDx yx y (2)实例:距离问题实用标准文案文档大全四.二重积分计算:1.概念与性质(“积”前工作):(1),Dd (2)对称性(熟练掌握):*域轴对称;*奇偶对称;*字母轮换对称;*重心坐标;Df (3)“分块”积分:*;*分片定义;*奇偶12DDDU(,)f x y(,)f x y 2.计算(化二次积分):(1)直角坐标与极坐标选择(转换):以“”为主;D (2)交换积分次序(熟练掌握).3.极坐标使用(转换):22()f xy 附:;222:()()DxaybR2222:1xyDab 双纽线 222222()()xyaxy:1Dxy 4.特例:(1)单变量:或()f x()f y (2)利用重心重心求积分:要求:题型,且已知的面积与重心12()Dk xk y dxdyDDS(,)x y 5.无界域上的反常二重积分(数三)五:一类积分的应用():():;f M dDL 1.“尺寸”:(1);(2)曲面面积(除柱体侧面);DDdS 2.质量,重心(形心),转动惯量;3.为三重积分,格林公式,曲面投影作准备.第六讲第六讲:无穷级数无穷级数(数一数一,三三)一.级数概念 1.定义:(1),(2);(3)(如)na12nnSaaaLlimnnS1(1)!nnn 注:(1);(2)(或);(3)“伸缩”级数:收敛limnnanq1na1()nnaa收敛.na 2.性质:(1)收敛的必要条件:;lim0nna实用标准文案文档大全 (2)加括号后发散,则原级数必发散(交错级数的讨论);(3);221,0nnnnss assss二.正项级数 1.正项级数:(1)定义:;(2)特征:;(3)收敛(有界)0na nS ZnSM 2.标准级数:(1),(2),(3)1pnlnknn1lnknn 3.审敛方法:(注:,)222abablnlnbaab (1)比较法(原理):(估计),如;npkan:10()nf x dx()()P nQ n (2)比值与根值:*(应用:幂级数收敛半径计算)1limnnnuulimnnnu三.交错级数(含一般项):()1(1)nna0na 1.“审”前考察:(1)(2);(3)绝对(条件)收敛?0?na 0?na 注:若,则发散1lim1nnnaanu 2.标准级数:(1);(2);(3)11(1)nn11(1)npn11(1)lnnpn 3.莱布尼兹审敛法(收敛?)(1)前提:发散;(2)条件:;(3)结论:条件na,0nnaa 1(1)nna收敛.4.补充方法:(1)加括号后发散,则原级数必发散;(2).221,0nnnnss assss 5.注意事项:对比;之间的敛散关系na(1)nnana2na四.幂级数:1.常见形式:(1),(2),(3)nna x0()nnaxx20()nnaxx 2.阿贝尔定理:(1)结论:敛;散*xx*0Rxx*xx*0Rxx (2)注:当条件收敛时*xx*Rxx实用标准文案文档大全 3.收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备)注(1)与同收敛半径,nnnnana xxnnna x (2)与之间的转换nna x20()nnaxx 4.幂级数展开法:(1)前提:熟记公式(双向,标明敛域)23111,2!3!xexxxR L 24111()1,22!4!xxeexxR L 35111(),23!5!xxeexxxR L ;3511sin,3!5!xxxxR L2411cos1,2!4!xxxR L ;211,(1,1)1xxxx L211,(1,1)1xxxx L 2311ln(1),(1,123xxxxx L 2311ln(1),1,1)23xxxxx L 3511arctan,1,135xxxxx L (2)分解:(注:中心移动)(特别:)()()()f xg xh x021,xxaxbxc (3)考察导函数:()()g xfx0()()(0)xf xg x dxf (4)考察原函数:0()()xg xf x dx()()f xg x 5.幂级数求和法(注:*先求收敛域,*变量替换):(1)(),S x (2),(注意首项变化)()S x L (3),()()S x (4)的微分方程()()S xS x (5)应用:.()(1)nnnnaa xS xaS 6.方程的幂级数解法 7.经济应用(数三):实用标准文案文档大全 (1)复利:;(2)现值:(1)nAp(1)nAp五.傅里叶级数(数一):()2T 1.傅氏级数(三角级数):01()cossin2nnnaS xanxbnx 2.充分条件(收敛定理):Dirichlet (1)由(和函数)()()f xS x (2)1()()()2S xf xf x 3.系数公式:01()cos1(),1,2,3,1()sinnnaf xnxdxaf x dxnbf xnxdxL 4.题型:(注:)()(),?f xS x x (1)且(分段表示)2T(),(,f xx L (2)或(,x 0,2 x (3)正弦或余弦0,x *(4)()0,xT*5.2Tl 6.附产品:()f x 01()cossin2nnnaS xanxbnx 00001()cossin2nnnaS xanxbnx001()()2f xf x 第七讲第七讲:向量向量,偏导应用与方向导偏导应用与方向导(数一数一)一.向量基本运算 1.;(平行)12k ak brrbavv 2.;(单位向量(方向余弦)ar01(cos,cos,cos)aaauu vvv实用标准文案文档大全 3.;(投影:;垂直:;夹角:)a br r()aa bbavv vvv0aba bvvv v(,)a ba ba bv vv vSv v 4.;(法向:;面积:)a brr,na ba bvv vv vSa bYv v二.平面与直线 1.平面 (1)特征(基本量):0000(,)(,)MxyznA B Cv (2)方程(点法式):000:()()()00A xxB yyC zzAxByCzD (3)其它:*截距式;*三点式1xyzabc 2.直线L (1)特征(基本量):0000(,)(,)Mxyzsm n pv (2)方程(点向式):000:xxyyzzLmnp (3)一般方程(交面式):1111222200AxB yC zDA xB yC zD (4)其它:*二点式;*参数式;(附:线段的参数表示:AB)121121121()(),0,1()xaaa tybbb t tzccc t 3.实用方法:(1)平面束方程:11112222:()0AxB yC zDA xB yC zD (2)距离公式:如点到平面的距离000(,)Mxy000222AxByCzDdABC (3)对称问题;(4)投影问题.三.曲面与空间曲线(准备)1.曲面 (1)形式:或;(注:柱面)(,)0F x y z(,)zf x y(,)0f x y (2)法向(或)(,)(cos,cos,cos)xyznF F Fv(,1)xynzz v实用标准文案文档大全 2.曲线 (1)形式,或;():()()xx tyy tzz t(,)0(,)0F x y zG x y z (2)切向:(或)(),(),()sx ty tz tr12snnvu v u u v 3.应用 (1)交线,投影柱面与投影曲线;(2)旋转面计算:参式曲线绕坐标轴旋转;(3)锥面计算.四.常用二次曲面 1.圆柱面:222xyR 2.球面:2222xyzR 变形:,2222xyRz222()zRxy ,2222xyzaz2222000()()()xxyyzzR 3.锥面:22zxy 变形:,222xyz22zaxy 4.抛物面:,22zxy 变形:,22xyz22()zaxy 5.双曲面:2221xyz 6.马鞍面:,或22zxyzxy五.偏导几何应用 1.曲面 (1)法向:,注:(,)0(,)xyzF x y znF F Fv(,)(,1)xyzf x ynffv (2)切平面与法线:实用标准文案文档大全 2.曲线 (1)切向:(),(),()(,)xx tyy tzz tsx y zv (2)切线与法平面 3.综合:,:00FG12snnvu v u u v六.方向导与梯度(重点)1.方向导(方向斜率):lv (1)定义(条件):(,)(cos,cos,cos)lm n pv (2)计算(充分条件:可微):coscoscosxyzuuuul 附:0(,),cos,sin zf x ylu rcossinxyzfflr (3)附:2222cos2sincossinxxxyyyffffl 2.梯度(取得最大斜率值的方向):Gu r (1)计算:;()(,)(,)xya zf x yGgradzffu v ()(,)(,)xyzb uf x y zGgraduu u uu v (2)结论 ;()aul0G lu ru r 取为最大变化率方向;()blGu rv 为最大方向导数值.()c0()G Mu r 第八讲第八讲:三重积分与线面积分三重积分与线面积分(数一数一)一.三重积分()fdV 1.域的特征(不涉及复杂空间域):(1)对称性(重点):含:关于坐标面;关于变量;关于重心实用标准文案文档大全 (2)投影法:22212(,)(,)(,)xyDx y xyRz x yzzx y (3)截面法:222()(,)()D zx y xyRzazb (4)其它:长方体,四面体,椭球 2.的特征:f (1)单变量,(2),(3),(4)()f z22()f xy222()f xyzfaxbyczd 3.选择最适合方法:(1)“积”前:*;*利用对称性(重点)dv (2)截面法(旋转体):(细腰或中空,)()baD zIdzfdxdy()f z22()f xy (3)投影法(直柱体):21(,)(,)xyzx yzx yDIdxdyfdz (4)球坐标(球或锥体):,22000sin()RIddfd (5)重心法():faxbyczd()Iaxbyczd V 4.应用问题:(1)同第一类积分:质量,质心,转动惯量,引力 (2)公式Gauss二.第一类线积分()Lfds 1.“积”前准备:(1);(2)对称性;(3)代入“”表达式LdsLL 2.计算公式:22(),(),()()()()baLxx tta bfdsf x ty txtyt dtyy t 3.补充说明:(1)重心法:;()()Laxbyc dsaxbyc L (2)与第二类互换:LLAdsA dru v vu vv 4.应用范围 (1)第一类积分 (2)柱体侧面积,Lz x y ds三.第一类面积分()fdS实用标准文案文档大全 1.“积”前工作(重点):(1);(代入)dS:(,)0F x y z (2)对称性(如:字母轮换,重心)(3)分片 2.计算公式:(1)22(,),(,)(,(,)1xyxyxyDzz x yx yDIf x y z x yzz dxdy (2)与第二类互换:A ndSA dSu v vu vu v四:第二类曲线积分(1):(其中有向)(,)(,)LP x y dxQ x y dyL 1.直接计算:,()()xx tyy t2112:()()ttt ttIPx tQy t dt 常见(1)水平线与垂直线;(2)221xy 2.Green 公式:(1);()LDQPPdxQdydxdyxy (2):*换路径;*围路径()L ABPQyyPQyy (3)(但内有奇点)(变形)L xyQPD*LL 3.推广(路径无关性):PQyy (1)(微分方程)(道路变形原理)PdxQdydu()BAL ABu (2)与路径无关(待定):微分方程.(,)(,)LP x y dxQ x y dyf 4.应用 功(环流量):(有向,)IF dru vvv(,)FP Q Ru v(,)drdsdx dy dzvv五.第二类曲面积分:1.定义:,或(其中含侧)PdydzQdzdxRdxdy(,)R x y z dxdy 2.计算:(1)定向投影(单项):,其中(特别:水平面);(,)R x y z dxdy:(,)zz x y实用标准文案文档大全 注:垂直侧面,双层分隔 (2)合一投影(多项,单层):(,1)xynzz v ()()xyPdydzQdzdxRdxdyPzQzR dxdy (3)化第一类(不投影):(cos,cos,cos)nv (coscoscos)PdydzQdzdxRdxdyPQRdS 3.公式及其应用:Gauss (1)散度计算:PQRdivAxyzu v (2)公式:封闭外侧,内无奇点Gauss PdydzQdzdxRdxdydivAdvu v (3)注:*补充“盖”平面:;*封闭曲面变形(含奇点)0 4.通量与积分:(有向,)A dS u vu vnv,AP Q Ru v(,)dSndSdydz dzdx dxdyu vv六:第二类曲线积分(2):(,)(,)(,)P x y z dxQ x y z dyR x y z dz 1.参数式曲线:直接计算(代入)注(1)当时,可任选路径;(2)功(环流量):0rotA u vvIF dru vv 2.Stokes 公式:(要求:为交面式(有向),所张曲面含侧)(1)旋度计算:(,)(,)RAP Q Rxyz u vu v (2)交面式(一般含平面)封闭曲线:同侧法向或00FG,xyznF F Fv;,xyzG G G (3)Stokes 公式(选择):()A drAndSu vvu vv ()化为;()化为;()化为aPdydzQdzdxRdxdyb(,)R x y z dxdycfdS