大学微积分l知识点总结材料一.pdf
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1、标准文案大全 大学微积分大学微积分 l l 知识点总结知识点总结【第一部分第一部分】大学阶段准备知识大学阶段准备知识1 1、不等式:、不等式:ab2ba ab2ba22 3abc3cbann21n21.aaana.aaabc3cba3332ba2baabb1a1222 babab-ann21n21n21nx.xxyppx.xxx.xxy的最大值为:则为常数,且扩展:若有 柯西不等式:设 a1、a2、.an,b1、b2、.bn均是实数,则有:22221222212nn2211.aaba.babannbbba时取等号为常数,当且仅当,n.3,2,1ibaii2 2、函数周期性和对称性的常用结论、函
2、数周期性和对称性的常用结论1、若 f(x+a)=f(x+b),则 f(x)具有周期性;若 f(a+x)=f(b-x),则 f(x)具有对称性。引申nn2.1n21aaana.aa双向不等式:两侧均在 ab0 或 ab0 时取等号标准文案大全口诀:“内同表示周期性,内反表示对称性”2、周期性(1)若 f(x+a)=f(b+x),则 T=|b-a|(2)若 f(x+a)=-f(b+x),则 T=2|b-a|(3)若 f(x+a)=1/f(x),则 T=2a(4)若 f(x+a)=【1-f(x)】/【1+f(x)】,则 T=2a(5)若 f(x+a)=【1+f(x)】/【1-f(x)】,则 T=4a
3、3、对称性(1)若 f(a+x)=f(b-x),则 f(x)的对称轴为 x=(a+b)/2(2)若 f(a+x)=-f(b-x)+c,则 f(x)的图像关于(a+b)/2,c/2)对称4、函数图象同时具备两种对称性,即两条对称轴,两个对称中心,一条对称轴和一个对称中心,则函数必定为周期函数,反之亦然。(1)若 f(x)的图像有两条对称轴 x=a 和 x=b,则 f(x)必定为周期函数,其中一个周期为 2|b-a|。(2)若 f(x)的图像有两个对称中心(a,0)和(b,0),(ab),则f(x)必定为周期函数,其中一个周期为 2|b-a|。(3)若 f(x)的图像有一个对称轴 x=a 和一个对
4、称中心(b,0),(ab),则 f(x)必定为周期函数,其中一个周期为 4|b-a|。3 3、三角函数、三角函数 lnsin 正弦lmcos 余弦mntan 正切Lmn标准文案大全 nmcot 余切mlsec 正割nlcsc 余割倒数关系:cot1tancsc1sinsec1cos商的关系:cscsectancossinseccsccotsincos平方关系:1cot11tan11cossin2222平常针对不同条件的两个常用公式:1cottan1cossin22一个特殊公式:-sinsinsin-sinsinsin二倍角公式:AAAAAAAAAA2222tan-1tan22tansin2-1
5、sin-cos2coscossin22sin半角公式:标准文案大全sinacosa1cosa-1sina2acotsinacosa-1cosa1sina2atancosa1212acoscosa-1212asin22三倍角公式:a-3tana3tantanaa3tana-3cosa3coscosa4a3cosa-3sina3sinsina4a3sin万能公式:2atan-12atan2tana2atan12atan-1cosa2atan12atan2sina2222两角和公式:标准文案大全tantan1tan-tan-tantantan-1tantantansinsincoscos-cossi
6、nsin-coscoscossincos-cossin-sinsincoscossinsin和差化积公式:21-cos21sin2sinsin21-sin21cos2sin-sin21-cos21cos2coscos 21-sin21sin2-cos-cosBABABABABAtantan1tancoscossintantantanBtanA1B-AtancoscosA-sintan-tanBBABA积化和差公式:21-sinsincossin21-coscoscoscos21-cos-cos-sinsin口诀:奇变偶不变,符号看象限标准文案大全原式得证,由题,证:设,其中证明:222222b
7、axxbcosxasin1xbxasinxbcosxaxbsinacossinxbsinacosbatansinbabsinacoaMMAAAAMAAAMMAAA4 4、数学归纳法、数学归纳法 数学上证明与自然数 N 有关的命题的一种特殊方法,它主要用来研究与正整数有关的数学问题,在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。例如:前 n 个奇数的总和是 n2,那么前 n 个偶数的总和是:n2+n最简单和最常见的数学归纳法证明方法是证明当 n 属于所有正整数时一个表达式成立,这种方法由下面两步组成:递推的基础:证明当 n=1 时表达式成立递推的依据:证明如果当 n=m 时成立,那么当 n=
8、m+1 时同样成立(1)第一数学归纳法证明当 n 取第一个值 n0时命题成立,n0对于一般数列取值为 0 或 1,但也有特殊情况假设 n=k(kn0,k 为自然数)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立(2)第二数学归纳法对于某个与自然数有关的命题 P(n)验证 n=n0时 P(n)成立假设 n0nk 时 P(n)成立,并在此基础上,推出 P(k+1)成立(3)倒推归纳法验证对于无穷多个自然数 n 命题 P(n)成立标准文案大全假设 P(k+1)成立,并在此基础上,推出 P(n)成立(4)螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题验证 n=n0时 P(n)成立假设 P(k)(kn0)成立,能推
9、出 Q(k)成立,假设 Q(k)成立,能推出P(k)成立。5 5、初等函数的含义、初等函数的含义概念:初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算以及有限次数函数复合所产生,并且能用一个解析式表示的函数。【有理运算:加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方】【基本初等函数:对数函数、指数函数、幂函数、三角函数、反三角函数】6 6、二项式定理:即二项展开式,即(二项式定理:即二项展开式,即(a+ba+b)n n的展开式的展开式nnnkk-nkn1-n1nn0nnb.ba.baaCbaCCC称为二次项系数其中knC表示项,用项,它是第叫做二次项展开式的通
10、1kkk-nkn1kbaTCk1k-nk1-k1-k-n.1-nn1-knknCC!其中,7 7、高等数学中代换法运用技巧、高等数学中代换法运用技巧倒代换把原式中的一个变元或原式中的一部分用另一个变元的倒数来代替,此种方法被称为“倒代换”法增量代换标准文案大全若题目中已知 xm,则引入辅助元 x=m+a(a0),再将辅助元代入题中解题。此种代换方法称为“增量代换法”三角代换222222axxaax、双代换nnnyxlim8 8、其他一些知识点、其他一些知识点(1)0 不是正数,不是负数。是自然数。0 是偶数,偶数分为:正偶数、负偶数和 0(2)正偶数称为“双数”(3)正常数:常数中的正数(4)
11、质数:又称“素数”。一个大于 1 的自然数,如果除了 1 和它自身以外,不能被其他自然数整除的数,否则称为“合数”。最小的质(素)数是 2。1 既不是素数,也不是合数。(5)exp:高等数学中,以自然对数 e 为底的指数函数(6)在数学符号中,sup 表示上界;inf 表示下界(7):表示恒等于(8)0 的阶乘是 1.阶乘是一个递推定义,递推公式为:n n!=n=n(n-1n-1)!)!因为 1的阶乘为 1,即 1!=10!,故 0!=1【第二部分第二部分】函数与极限函数与极限常用结论常用结论(等价无穷小很重要)nx1x1nxn11x1n1:引入两个辅助元进行代换标准文案大全x1ex时成立1x
12、x1ex-11xxlnx1xx1 en11ne1n1-1n其中,e 为初等函数,又称“幂指函数”,e 即根据此公式得到,en11ne2.7181n1-1n261n21nnn.21222233321nnn.211-aa-asa.aas1nn21-n2-n1-nnnb.baab-ab-a1-m2-m1-mm1m1b.baab-ab-a bxvxxxxxxaxulimbabxvlim0axulim000,则为常数、,若 exf1xf1一些重要数列的极限:一些重要数列的极限:标准文案大全 xlnx1x1-exxlna1-ax x1-x1xarcsinx xarctanx 另一些重要的数列极限:另一些重
13、要的数列极限:0k0n1limkn为常数1q0qlimnn1a1alimnn 为常数!a0nalimnn1nlimnn xsinx0 x 时,xtanx 2x21cosx-1列举一些趋向于列举一些趋向于 0 0 的函数:的函数:0lnn10na1a0c-nb0b0a0q1qbnan,柯西极限存在准则:柯西极限存在准则:柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理。给出了极限收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数,存在这样的正整数 N,使得当 mN,nN 时就有|xn-xm|。这个准则的几何意义表示,数列Xn收敛的充分必要条件是:该数列中足够靠后的任意两项都无限接近。夹逼定理的两个条件:夹逼定理的两个条件
14、:左右极限存在;左右极限相等【极限计算的技巧总结极限计算的技巧总结(不包含教材介绍的方法以及公式):】(1 1)洛比达法则)洛比达法则设函数 f(x)和 F(x)满足下列条件:xa 时,f(x)=0,F(x)=0;limlim在点 a 的某去心邻域内 f(x)与 F(x)都可导,且 F(x)的导数不等于 0;标准文案大全xa 时,(f(x)/F(x))存在或为无穷大lim则 xa 时,(f(x)/F(x)=(f(x)/F(x)limlim(2 2)等价无穷小)等价无穷小一般要将变量的取值变为趋向于 0 的代数式,如 x,令 t=1/x无穷小的概念:高阶无穷小:高阶无穷小:当=0 时,如果(B/
15、A)=0,就说 B 是比 A 高阶的无穷小Alimlim低阶无穷小:低阶无穷小:当=0 时,如果(B/A)=,就说 B 是比 A 低阶的无穷小Alimlim如果(B/A)=K(K0,1),就说 B 是 A 的同阶非等价无穷小同阶非等价无穷小lim等价无穷小:等价无穷小:(B/A)=1,就说 B 为 A 的等价无穷小lim(3 3)斯托尔茨定理)斯托尔茨定理设数列单调增加到无穷大,则ny11limlimnnnnnnnnyyxxyx axgfxgfxfxxxx00limlim)().4(是连续函数:(5)求两个数列之商的极限,在两数列都具有高次项的情况下,可以直接比较最高次项而忽略较低次项,该原理
16、仅仅限于无穷数列,对于有穷数列不能直取。(6)分母趋近于 0,而分子不为 0,其极限不存在或无穷 2c411limlim,lim(limlim,2411lim,.7111AACAxcxAxxxxcxcxcccxnnnnnnnnnnnnnnn,所以,知对()两侧求极限可设)所以证明:)(8)在计算极限题目中,若题目中同时出现、或者、xsinxarcsinxcos时,令 t=或arcsosxxsinxcos标准文案大全(9)在求极限的过程中如果遇到 n 次项等高次项而无法解题时,一般可以通过借助进行消去高次项的运算,有的也可以使用泰勒公式。xe(10)计算极限时出现出现或者的形式,应用泰勒公式计算
17、。)tan(tan x)sin(sin x(11)三个重要的结果aaaaanaaaaaaaaanaaaaannnnnnnnnnnnnnnnnlim,lim,.,3,2,10.lim),0(lim.lim,lim12121则,若则若则若(12)有的题目涉及递推公式、数列问题如:nnnSSnS2232.252321132n解题思路:函数的连续性和间断点问题函数的连续性和间断点问题(1 1)如何讨论并确定函数的连续性?)如何讨论并确定函数的连续性?若该函数是初等函数,则该函数在其定义域区间均连续若是一元函数,则可对其求导,其导数在某点上有意义则函数在该点必然连续(可导必连续)求助极限,函数在该点极限
18、等于函数在该点函数值,计算时注意左右极限(2 2)间断点问题)间断点问题间断点的分类:间断点的分类:标准文案大全段连续上按在区间断点,则函数上仅有有限个第一类间在区间如果函数断点的第二类间称为函数不存在时,的左右极限至少有一个在若存在左右极限均第一类间断点的特点是点统称第一类间断点。可去间断点和跳跃间断称为跳跃度的跳跃间断点,为函数则称。但若已经不是原函数。处连续,此时在的函数值,使在充定义或改变的可去间断点,只需补为函数可去间断点。若的,则称为但处没有定义或者有定义在而若baxfbaxfxfxxxxxfxfxfxfxxxfxfxfxfxfxfxfxxxfxxxfxfxxxfAxfxxxfAx
19、fxxxxxx,)(,)()()()()()(),()()()(lim),()(lim)()()()()()()(,)(lim0000000000000000(3 3)一致连续与不一致连续)一致连续与不一致连续00)()(00 x)(xx)()()(0.0 x)(xfxfxxxxxfxxxfxfxfxxxxxxf,但是,尽管、存在,总,无论对多么小的上,存在定义在集合不一致连续:设函数小。的绝对值就可以任意地分靠近,相应函数值差位置怎样,只要二者充和中的两点定义表明,无论上一致连续。在,则称时,就有且满足、当)(上,若定义在集合:设函数一致连续(均匀连续)AxfAxfAxfxxxxxx)(li
20、m)(lim)(lim000充要条件【第三部分第三部分】导数与微分导数与微分法线斜率和切线斜率相乘等于-1(切线与法线垂直)u.uuu.uun21n21u.uu.u.uuu.u uu.uun21n21n21n21反函数求导:反函数导数原函数导数=1标准文案大全或写成:00yyxxdydx1dxdy常见的函数的导数(基础函数求导):常见的函数的导数(基础函数求导):为常数c0c 1-xx lnaaaxx xxeelnax1logxax1lnx x1lnxcosxsinx-sinxcosx xsecxtan1tan22xx-csccotx2 tanxsecxsecxcotx-cscxcscx 2x
21、-11arcsinex 2x-11-arccosx 2x11arctanx2x11-arccotx:的求导方法特殊复合函数:)(xvxuy uvulnvu yeyuvlnvxux转化y=f(x)亦称为“零阶导数零阶导数”(函数的零阶导数就是其本身)隐函数:隐函数:F(x,y)=0,y=f(x)带入即可得到 F【x,f(x)】=0,满足该恒等式即为隐函数国际数学通用标记:国际数学通用标记:标准文案大全 内二次可导、在、的区间上连续、的二阶导数在、上可导、在、上的连续函数、是、baxfxfbabaxfxfbabaxfxfbabaxfxfba22DCDC易错点:易错点:求导时,不能将 y 与 f(x
22、)等同。二者导数未必一致【带有绝对值的函数该如何求导?带有绝对值的函数该如何求导?】带有绝对值的函数脱掉绝对值符号后是一个分段函数,应当分段求导。特别应注意的是,分段点的导数严格来讲,应当按定义来求。【经典题型总结经典题型总结】(1)设函数 f(x)在 x0 时可导,且对任何非零数 x,y 均有 f(xy)=f(x)+f(y),又 f(1)存在。证明当 x0 时,f(x)可导。证:令 x=1,由 f(xy)=f(x)+f(y)得:f(y)=f(1)+f(y),所以:f(1)=0 对任何 x0,由题设及导数定义知,x)(-)1()(limx)(1limx)()(lim0 x0 x0 xxfxxf
23、xfxfxxfxfxxf的时候处处可导不等于所以函数在)0)()1(1xx)1(-x1(x1lim0 xxffxff0)1(,(022122121211222yadtdyadtydexaayadxdyxadxdyxadxydxt方程化成如下的形式:证明可将为常数)中令)在方程(ttteedtdydtdxdtdydxdtdtdydxydedtdydxdtdtdydxdy 1;22证:标准文案大全tttttedtdyedtydeedtdyedtyd222222)(0)1(0)(21222122222yadtdyadtydyaedxdyeaedxdyedxydettttt所以:原式13dydxdxd
24、)化简:(dxdydydxdyddydxdxd11解:原式 2231222dyxddydxdydxdyxddydx高阶导数:高阶导数:(1 1)高阶导数的运算法则)高阶导数的运算法则 kk-nn0kknn0nn11-n1n0n0nnnnnnnvuvu.vuvuuvcucucvuvuCCCC为常数其中(2 2)【浅谈高阶导数的求法浅谈高阶导数的求法】高阶导数求法一般包括 6 种方法,即根据高阶导数定义求之;根据高阶导数定义求之;利用高阶导利用高阶导数公式求之;数公式求之;利用莱布尼茨公式求之;利用莱布尼茨公式求之;用复合函数的求导法则求之;用复合函数的求导法则求之;用用泰勒公式求之;泰勒公式求之
25、;交叉法交叉法,等等。定义法:定义法:运用求导公式,求导法则求导,n 阶导数一般比较其规律性高阶求导公式:高阶求导公式:把高阶求导公式化为代函数之和,分别求之标准文案大全莱布尼茨公式求导:莱布尼茨公式求导:当所求导数的函数是两个函数的乘积时,宜用莱布尼茨公式求之。特别地,当其中一个函数的高阶导数为 0,可以用此公式求之;两两个因子中,其中有一个函数的各阶导数有明显的规律性时,可以用此公式个因子中,其中有一个函数的各阶导数有明显的规律性时,可以用此公式。复合函数求导法:复合函数求导法:复合函数求导法则还可以推广到多次复合的情形。在求导时,能从外层向内层逐层求导,一直求到对自变量求导数为止。若存在
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