二次函数与幂函数-高考数学知识点总结-高考数学真题复习.pdf
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1、2.4二次函数与幂函数二次函数与幂函数2014 高考会这样考 1.求二次函数的解析式;2.求二次函数的值域或最值,和一元二次方程、一元二次不等式进行综合应用;3利用幂函数的图象、性质解决有关问题复习备考要这样做 1.理解二次函数三种解析式的特征及应用;2.分析二次函数要抓住几个关键环节:开口方向、对称轴、顶点,函数的定义域;3.充分应用数形结合思想把握二次函数、幂函数的性质1 二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如:f(x)ax2bxc_(a0)的函数叫做二次函数(2)二次函数解析式的三种形式一般式:f(x)ax2bxc_(a0)顶点式:f(x)a(xm)2n(a0)零点式:f(x)a
2、(xx1)(xx2)_(a0)2 二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象定义域(,)(,)值域4acb24a,)(,4acb24a单调性在 x上单调递减;(,b2a在 x上单调递增b2a,)在 x上单调递增;(,b2a在 x上单调递减b2a,)奇偶性当 b0 时为偶函数,b0 时为非奇非偶函数顶点(b2a,4acb24a)对称性图象关于直线 x成轴对称图形b2a3.幂函数形如 yx(R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,是常数4 幂函数的图象及性质(1)幂函数的图象比较(2)幂函数的性质比较难点正本疑点清源1 二次函数的三种形式(1)已知三个
3、点的坐标时,宜用一般式(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式(3)已知二次函数与 x 轴有两个交点,且横坐标已知时,选用零点式求 f(x)更方便2 幂函数的图象(1)在(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近 x 轴,在(1,)上幂函数中指数越大,函数图象越远离 x 轴(2)函数 yx,yx2,yx3,yx,yx1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代12表1 已知函数 f(x)x22(a1)x2 在区间(,3上是减函数,则实数 a 的取值范围为_答案(,2解析f(x)的图象的对称轴为 x1a 且开口向上,1a3,即 a2.2已知函数 yx22x3
4、在闭区间0,m上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围为_答案1,2解析yx22x3 的对称轴为 x1.当 m2 时,ymaxf(m)m22m33,m0,m2,无解1m2.3 若幂函数 y(m23m3)xm2m2 的图象不经过原点,则实数 m 的值为_答案1 或 2解析由Error!,解得 m1 或 2.经检验 m1 或 2 都适合4(人教 A 版教材例题改编)如图中曲线是幂函数 yxn在第一象限的图象已知 n 取2,四个12值,则相应于曲线 C1,C2,C3,C4的 n 值依次为_答案2,21212解析可以根据函数图象是否过原点判断 n 的符号,然后根据函数凸凹性确定 n 的值5 函数
5、 f(x)x2mx1 的图象关于直线 x1 对称的充要条件是 ()Am2 Bm2Cm1 Dm1答案A解析函数 f(x)x2mx1 的图象的对称轴为 x,且只有一条对称轴,所以m2 m21,即 m2.题型一求二次函数的解析式例 1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)1,f(1)1,且 f(x)的最大值是 8,试确定此二次函数思维启迪:确定二次函数采用待定系数法,有三种形式,可根据条件灵活运用解方法一设 f(x)ax2bxc(a0),依题意有Error!解之,得Error!所求二次函数解析式为 f(x)4x24x7.方法二设 f(x)a(xm)2n,a0.f(2)f(1),抛物线对称轴为 x.m
6、.2121212又根据题意函数有最大值为 n8,yf(x)a28.(x12)f(2)1,a281,解之,得 a4.(212)f(x)4284x24x7.(x12)方法三依题意知,f(x)10 的两根为x12,x21,故可设 f(x)1a(x2)(x1),a0.即 f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值 ymax8,即8,4a2a1a24a解之,得 a4 或 a0(舍去)函数解析式为 f(x)4x24x7.探究提高二次函数有三种形式的解析式,要根据具体情况选用:如和对称性、最值有关,可选用顶点式;和二次函数的零点有关,可选用零点式;一般式可作为二次函数的最终结果 已知二次函数 f(x)同时满足
7、条件:(1)f(1x)f(1x);(2)f(x)的最大值为 15;(3)f(x)0 的两根立方和等于 17.求 f(x)的解析式解依条件,设 f(x)a(x1)215(a2xm 恒成立,求实数 m 的取值范围思维启迪:对于(1),由 f(0)1 可得 c,利用 f(x1)f(x)2x 恒成立,可求出 a,b,进而确定 f(x)的解析式对于(2),可利用函数思想求得解(1)由 f(0)1 得,c1.f(x)ax2bx1.又 f(x1)f(x)2x,a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x,即 2axab2x,Error!Error!因此,f(x)x2x1.(2)f(x)2xm 等价于 x2x
8、12xm,即 x23x1m0,要使此不等式在1,1上恒成立,只需使函数 g(x)x23x1m 在1,1上的最小值大于 0 即可g(x)x23x1m 在1,1上单调递减,g(x)ming(1)m1,由m10 得,m1.因此满足条件的实数 m 的取值范围是(,1)探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起,而二次函数又是“三个二次”的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体因此,有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点(2012苏州模拟)已知函数 f(x)x2mxn 的图象过点(1,3)
9、,且 f(1x)f(1x)对任意实数都成立,函数 yg(x)与 yf(x)的图象关于原点对称(1)求 f(x)与 g(x)的解析式;(2)若 F(x)g(x)f(x)在(1,1上是增函数,求实数 的取值范围解(1)f(x)x2mxn,f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxnmx2(m2)xnm1,f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxmnx2(2m)xnm1.又 f(1x)f(1x),m22m,即 m2.又 f(x)的图象过点(1,3),312mn,即 mn2,n0,f(x)x22x,又 yg(x)与 yf(x)的图象关于原点对称,g(x)(x)22(x),g(x)x22x.(
10、2)F(x)g(x)f(x)(1)x2(22)x,当 10 时,F(x)的对称轴为 x,222111又F(x)在(1,1上是增函数Error!或Error!.1 或10.当 10,即 1 时,F(x)4x 显然在(1,1上是增函数综上所述,的取值范围为(,0题型四幂函数的图象和性质例 4 已知幂函数 f(x)xm22m3(mN*)的图象关于 y 轴对称,且在(0,)上是减函数,求满足(a1)(32a)的 a 的取值范围m3m3思维启迪:由幂函数的性质可得到幂指数 m22m30,再结合 m 是整数,及幂函数是偶函数可得 m 的值解函数在(0,)上递减,m22m30,解得1m3.mN*,m1,2.
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