中考解直角三角形知识点整理复习.pdf

1中考解直角三角形中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：C=90A+B=902、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2b2c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方A AB BC Cabc弦股勾勾勾：直角三角形较短的直角边 股股：直角三角形较长的直角边 弦弦：斜边勾股定理的逆定理：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 有下面关系：a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。考点二、直角三角形的判定考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a、b、c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为 c）；（2）若 c2a2b2，则ABC 是以C 为直角的三角形；若 a2b2c2，则此三角形为钝角三角形（其中 c 为最大边）；若 a2b2c2，则此三角形为锐角三角形（其中 c 为最大边）4.勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（3）用于证明线段平方关系的问题。（4）利用勾股定理，作出长为的线段n考点三、锐角三角函数的概念考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在ABC 中，C=90 锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记为 sinA，即casin斜边的对边AA锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记为 cosA，即cbcos斜边的邻边AA锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记为 tanA，即batan的邻边的对边AAA2锐角 A 的邻边与对边的比叫做A 的余切，记为 cotA，即abcot的对边的邻边AAA2、锐角三角函数的概念锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做A 的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数 30 45 60sin212223cos232221tan3313cot31334、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90A)，cosA=sin(90A)；（2）平方关系：1cossin22AA（3）倒数关系：tanAtan(90A)=1（4）商（弦切）关系：tanA=AAcossin5、锐角三角函数的增减性当角度在 090之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理论依据在 RtABC 中，C=90，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c（1）三边之间的关系：（勾股定理）222cba（2）锐角之间的关系：A+B=90（3）边角之间的关系：正弦 sin，余弦 cos，正切 tan(4)面积公式：（hc 为c边上的高）考点五、解直角三角形考点五、解直角三角形 应用应用1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、仰角、俯角、坡面坡面 知识点及应用举例：知识点及应用举例：3(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。仰 仰仰 仰 仰仰 仰 仰仰 仰仰 仰仰 仰 :ih lhl(2)坡面的铅直高度和水平宽度 的比叫做坡度(坡比)。用字母 表示，即。坡度一般写成的形式，如hlihil1:m等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。1:5i tanhil3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 3，OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：45、135、225。解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结）解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结）1 1、解直角三角形的类型与解法、解直角三角形的类型与解法 已知、解法三角 类型已 知 条 件解 法 步 骤两直角边（如 a，b）由 tan A，求A；B90A，cab22ba 两边斜边，一直角边（如 c，a）由 Sin A，求A；B90A，bac22a-c锐角，邻边（如A，b）B90A，abSin A，ccosAbcosA一角边和一锐角锐角，对边（如A，a）B90A，b，catanAasinA RtABC B c aA b C 一边一角斜边，锐角（如 c，A）B90A，acSin A，bccos A2 2、测量物体的高度的常见模型、测量物体的高度的常见模型1）利用水平距离测量物体高度数学模型所用工具应测数据数量关系根据原理侧倾器皮尺、水平距离 atan，tan1x2xatantantantan直角三角形的边角关系ax1x24tan tanxa xatantantantan2)测量底部可以到达的物体的高度数学模型所用工具应测数据数量关系根据原理皮尺镜子目高 a1水平距离 a2水平距离 a3，h3ah21aa231aaa反射定律皮尺标杆标杆高 a1标杆影长 a2物体影长 a3,h1ah23aa231aaa同一时刻物高与影长成正比侧倾器高 a1水平距离 a2倾斜角 tan,21aah ha1a2tan矩形的性质和直角三角形的边角关系皮尺侧倾器仰角 俯角 水平距离 a1tan,tan11ah12ahhh1h2a1（tantan）矩形的性质和直角三角形的边角关系3）测量底部不可到达的物体的高度（1）数学模型所用工具应测数据数量关系根据理论仰角 俯角 tan，tanxh1xaxa镜子1a2a3ahh3a2a1ah1a2ah1h2h1ah1hx5高度 ahah1aaa(1tantantantan)皮尺侧倾器俯角 俯角 高度tan,tanahxxax haahtanatanatantan矩形的性质和直角三角形的边角关系测量底部不可到达的物体的高度（2）数字模型所用工具应测距离数量关系根据原理仰角，仰角 水平距离 a1侧倾器高 a2tan tanxah11xh1h1tantantantan1aha2h1a2tantantantan1a仰角 仰角 高度 atan,tanhxhaxhtantantantan,tan、hhxhaxtantantan皮尺侧倾器仰角 仰角 高度 atan,tanhxahxhtantabtan矩形的性质和直角三角形的边角关系hxa hAax h1haxh1h2a1ax6第三部分第三部分 真题分类汇编详解真题分类汇编详解 2007-20122007-2012（2007）19（本小题满分 6 分）一艘轮船自西向东航行，在 A 处测得东偏北 21.3方向有一座小岛 C，继续向东航行 60 海里到达 B 处，测得小岛 C 此时在轮船的东偏北 63.5方向上之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C 最近？（参考数据：sin21.3，tan21.3，sin63.5，tan63.52）92525910（2008）19（本小题满分 6 分）在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，表示窗户，且米，表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线AB2AB BCD的最小夹角为，最大夹角为请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中的长是多少CD18.6o64.5oCD米？（结果保留两个有效数字）（参考数据：，）sin18.60.32otan18.60.34osin64.50.90otan64.52.1oABC北东ADBCGEDBAF第 19 题图7（2009）19（本小题满分 6 分）在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔 CD 的高度他们首先从 A处安置测倾器，测得塔顶 C 的仰角21CFE，然后往塔的方向前进 50 米到达 B 处，此时测得仰角37CGE，已知测倾器高 1.5 米，请你根据以上数据计算出古塔 CD 的高度（参考数据：3sin375，3tan374，9sin2125，3tan218）（2010）19（本小题满分 6 分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB米为测量这座居民楼与大厦之间80的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为 37，大厦底部B的俯角为 48求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度（结果保留整数）（参考数据：）oooo33711sin37tan37sin48tan48541010，解：（2011）19(6 分)某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的 40 减至 35已知原楼梯AB长为 5m，调整后的楼梯所占地面CD有多长？(结果精确到 0.1m参考数据：sin400.64，cos400.77，sin350.57，tan350.70)B3748DCA第 19 题图4035ADBC8（20122012）20.20.（8 8 分）分）附历年真题标准答案：附历年真题标准答案：（2007）19（本小题满分（本小题满分 6 分）分）解：过 C 作 AB 的垂线，交直线 AB 于点 D，得到 RtACD 与 RtBCD设 BDx 海里，在 RtBCD 中，tanCBD，CDx tan63.5CDBD在 RtACD 中，ADABBD(60 x)海里，tanA，CDADCD(60 x)tan21.3 xtan63.5(60 x)tan21.3，即 解得，x1522605xx答：轮船继续向东航行 15 海里，距离小岛 C 最近 6（20082008）1919（本小题满分（本小题满分 6 6 分）分）解：设CD为x，在 RtBCD中，o6.18BDC，2CDBCBDC tanxBDCCDBC34.0tan在 RtACD中，o5.64ADCCDACADC tanxADCCDAC1.2tan，BCACABxx34.01.221.14x答：CD长约为 1.14 米 （2009）19（本小题满分（本小题满分 6 分）分）解：由题意知CDAD，EFAD，90CEF，设CEx，在RtCEF中，tanCECFEEF，则8tantan213CExEFxCFE；在RtCEG中，tanCECGEGE，则4tantan373CExGExCGEEFFGEG，845033xx 37.5x，37.5 1.539CDCEED（米）BCDACGEDBAF第 19 题图9答：古塔的高度约是 39 米6 分（20102010）1919（本小题满分（本小题满分 6 6 分）分）解：设CD=x在 RtACD中，tan37ADCD 则，.34ADx34ADx在 RtBCD中，tan48=，BDCD则，1110BDx.4 分1110BDxADBD=AB，31180410 xx解得：x43答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是 43 米 6 分（20112011）1919（本小题满分（本小题满分 6 6 分）分）（20122012）20.20.（8 8 分）分）B3748DCA第 19 题图10