中考数学-二次函数存在性问题-及参考答案.pdf

中考数学中考数学 二次函数存在性问题二次函数存在性问题 及参考答案及参考答案一、二次函数中相似三角形的存在性问题一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.1.如图，把抛物线向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线.2yx2()yxhk所得抛物线与 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与轴交于点 C，顶点为 D.xy（1）写出的值；（2）判断ACD 的形状，并说明理由；hk、（3）在线段 AC 上是否存在点 M，使AOMABC？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由.2.2.如图，已知抛物线经过 A（2，0），B（3，3）及原点 O，顶点为 C（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以P、M、A 为顶点的三角形BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由二、二次函数中面积的存在性问题二、二次函数中面积的存在性问题3.3.如图，抛物线与双曲线相交于点 A，B已知点 B 的坐标为（2，2），点20yaxbx akyxA 在第一象限内，且 tanAOX4过点 A 作直线 AC轴，交抛物线于另一点 Cx（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点 D，使ABD 的面积等于ABC 的面积若存在，请你写出点 D 的坐标；若不存在，请你说明理由4.4.如图，抛物线yax2c（a0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（2,0），B（1,3）（1）求抛物线的解析式；（3 分）（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2分）（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使SPAD4SABM成立，求点P的坐标（4 分）(4)在抛物线的 BD 段上是否存在点 Q 使三角形 BDQ 的面积最大，若有，求出点 Q 的坐标，若没有，请说明理由。xyCB_ D_ AO三、二次函数中直角三角形的存在性问题三、二次函数中直角三角形的存在性问题5.5.如图,ABC 是直角三角形,ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过 A，B 两点，2yxbxc抛物线的顶点为 D（1）求b,c的值；（2）点 E 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点(点 A、B 除外)，过点 E 作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段 EF 的长度最大时，求点 E 的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点、为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点 P，使EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，说明理由.四、二次函数中等腰三角形的存在性问题四、二次函数中等腰三角形的存在性问题6.6.如图，直线交轴于 A 点，交轴于 B 点，过 A、B 两点的抛物线交轴于另一点33 xyxyxC（3,0）.求抛物线的解析式;在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由.AOCBDxy26题备用图AOCBDxy26题图yxOCBA五、二次五、二次函数中函数中等腰梯等腰梯形形、直角梯形、直角梯形的存在性问题的存在性问题 7 7如图，二次函数y=x2axb的图像与x轴交于A(，0)、B(2，0)两点，且与y轴交于点C；21(1)求该拋物线的解析式，并判断ABC的形状；(2)在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；(3)在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。六、二次函数中菱形的存在性问题六、二次函数中菱形的存在性问题8 8如图，已知抛物线经过原点 O 和 x 轴上一点 A（4，0），抛物线顶点为 E，它的对称轴与 x 轴交于点 D直线 y=2x1 经过抛物线上一点 B（2，m）且与 y 轴交于点 C，与抛物线的对称轴交于点F（1）求 m 的值及该抛物线对应的解析式；（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若 SADP=SADC，求出所有符合条件的点 P 的坐标；（3）点 Q 是平面内任意一点，点 M 从点 F 出发，沿对称轴向上以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，设点 M 的运动时间为 t 秒，是否能使以 Q、A、E、M 四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点 M 的运动时间 t 的值；若不能，请说明理由yABCOx1 1、【答案答案】解：（1）由平移的性质知，的顶点坐标为（，），2()yxhk 。14hk ，（2）由（1）得.2=14yx 当时，解之，得。=0y2140 x 1231xx，.A(3 0)B 1 0 ，(，)又当时，0 x 22=140143yx C 点坐标为（0，3）。又抛物线顶点坐标 D（1，4），作抛物线的对称轴交 轴于点 E，DF 轴于点 F。易知1x xy在 RtAED 中，AD2=22+42=20，在 RtAOC 中，AC2=32+32=18，在 RtCFD 中，CD2=12+12=2，AC2 CD2AD2。ACD 是直角三角形。（3）存在作 OMBC 交 AC 于 M，点即为所求点。由（2）知，AOC 为等腰直角三角形，BAC450，AC。183 2由AOM ABC，得。即。AOAMABAC3AM9,AM2443 2 过 M 点作 MGAB 于点 G，则 AG=MG=，29281942164OG=AOAG=3。又点 M 在第三象限，所以 M（，）。93443494 2 2、【答案答案】解：（1）设抛物线的解析式为，20yaxbxc a抛物线过 A（2，0），B（3，3），O（0，0）可得，解得。42=093=3=0abcabcc=1=2=0abc抛物线的解析式为。22yxx（2）当 AE 为边时，A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，DE=AO=2，则 D 在轴下方不可能，D 在轴上方且 DE=2，则 D1（1，3），D2（3，3）。xx当 AO 为对角线时，则 DE 与 AO 互相平分。点 E 在对称轴上，且线段 AO 的中点横坐标为1，由对称性知，符合条件的点 D 只有一个，与点 C 重合，即 C（1，1）。故符合条件的点 D 有三个，分别是 D1（1，3），D2（3，3），C（1，1）。（3）存在，如图：B（3，3），C（1，1），根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，BO2+CO2=BC2BOC 是直角三角形。假设存在点 P，使以 P，M，A 为顶点的 三角形与BOC 相似，设 P（，），由题意知0，0，且xyxy，22yxx若AMPBOC，则。AMPMBOCO即+2=3（2+2）得：xxx1=，2=2（舍去）x13x当=时，=，即 P（，）。x13y791379若PMABOC，则，。BOPMCOBO即：2+2=3（+2）得：1=3，2=2（舍去）xxxxx当=3 时，=15，即 P（3，15）xy故符合条件的点 P 有两个，分别是 P（，）或（3，15）。13793 3、【答案答案】解：（1）把点 B（2，2）的坐标代入得，4。kyx22k k双曲线的解析式为：。4yx设 A 点的坐标为（m，n）A 点在双曲线上，mn4。又tanAOX4，4，即 m4n。n21，n1。mnA 点在第一象限，n1，m4。A 点的坐标为（1，4）。把 A、B 点的坐标代入得，解得，1，3。2yaxbx4422abab ab抛物线的解析式为：。23yxx（2）AC轴，点 C 的纵坐标 y4，x代入得方程，解得14，21（舍去）。23yxx2340 xxxxC 点的坐标为（4，4），且 AC5。又ABC 的高为 6，ABC 的面积5615。12（3）存在 D 点使ABD 的面积等于ABC 的面积。理由如下：过点 C 作 CDAB 交抛物线于另一点 D，此时ABD 的面积等于ABC 的面积（同底：AB，等高：CD 和 AB 的距离）。直线 AB 相应的一次函数是：，且 CDAB，22yx可设直线 CD 解析式为，2yxp把 C 点的坐标（4，4）代入可得，。12p 直线 CD 相应的一次函数是：。212yx解方程组，解得，。23212yxxyx 318xy点 D 的坐标为（3，18）。4.4.（1 1）、因为点A A、B B均在抛物线上，故点A A、B B的坐标适合抛物线方程 解之得：；故为所求403acac 14ac 24yx（2 2）如图）如图 2 2，连接BDBD，交y y轴于点M M，则点M M就是所求作的点设BDBD的解析式为，则有，ykxb203kbkb 12kb 故BDBD的解析式为；令则，故2yx0,x 2y (0,2)M(3)(3)、如图 3，连接AMAM，BCBC交y y轴于点N N，由（2）知，OM=OA=OD=OM=OA=OD=2 2，90AMB易知易知BN=MN=BN=MN=1 1，易求2 2,2AMBM；设，12 2222ABMSV2(,4)P x x 依题意有：，即：2144 22AD x g21444 22xg解之得：，故符合条件的P P点有三个：2 2x 0 x 123(2 2,4),(2 2,4),(0,4)PPP5.5.解答：解：（1）由已知得：A（1，0），B（4，5），二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点 A（1，0），B（4，5），解得：b=2，c=3；（2）如图：直线 AB 经过点 A（1，0），B（4，5），直线 AB 的解析式为：y=x+1，二次函数 y=x22x3，设点 E（t，t+1），则 F（t，t22t3），EF=（t+1）（t22t3）=（t）2+，当 t=时，EF 的最大值为，点 E 的坐标为（，）；（3）如图：顺次连接点 E、B、F、D 得四边形 EBFD可求出点 F 的坐标（，），点 D 的坐标为（1，4）xyNMOP2P1BDAP3C图图 3S四边形 EBFD=SBEF+SDEF=（4）+（1）=；如图：）过点 E 作 aEF 交抛物线于点 P，设点 P（m，m22m3）则有：m22m2=，解得：m1=，m2=，P1（，），P2（，），）过点 F 作 bEF 交抛物线于 P3，设 P3（n，n22n3）则有：n22n2=，解得：n1=，n2=（与点 F 重合，舍去），P3（，），综上所述：所有点 P 的坐标：P1（，），P2（，），P3（，）能使EFP 组成以 EF为直角边的直角三角形6.6.解：（1）当=0 时，=3xy当=0 时，=1yx（1，0），（0，3）AB（3，0）1 分C设抛物线的解析式为=a（+1）（3）yxx3=a1（3）a=1此抛物线的解析式为=（+1）（3）=-+2+32 分yxxx2x（2）存在抛物线的对称轴为：=14 分231如图对称轴与轴的交点即为 Qx1=，OAOQ1BOAQ1=ABQ1B（1，0）6 分Q1当=时，设的坐标为（1，m）Q2AQ2BQ22+m=1+（3m）2222m=1（1，1）8 分Q2当=时，设（1，n）Q3AABQ32+n=1+32222n0n=6（1，）Q36符合条件的点坐标为（1，0），（1，1），（1，）10 分QQ1Q2Q36x7 7、答案：、答案：解(1)根据题意，将A(，0)，B(2，0)代入y=x2axb中，得，2102402141baba解这个 方程，得a=，b=1，该拋物线的解析式为y=x2x1，当 x=0 时，y=1，2323 点C的坐标为(0，1)。在AOC中，AC=。22OCOA 221)21(25 在BOC中，BC=。22OCOB 2212 5 AB=OAOB=2=，AC 2BC 2=5=AB 2，ABC是直角三角形。212545425 (2)点D的坐标为(，1)。23 (3)存在。由(1)知，ACBC。若以BC为底边，则BC/AP，如图 1 所示，可求得直线 BC的解析式为y=x1，直线AP可以看作是由直线21 BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y=xb，21 把点A(，0)代入直线AP的解析式，求得b=，2141 直线AP的解析式为y=x。点P既在拋物线上，又在直线AP上，2141 点P的纵坐标相等，即x2x1=x，解得x1=，23214125 x2=(舍去)。当x=时，y=，点P(，)。2125232523 若以AC为底边，则BP/AC，如图 2 所示。可求得直线AC的解析式为y=2x1。直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为y=2xb，把点B(2，0)代 入直线BP的解析式，求得b=4，直线BP的解析式为y=2x4。点P既在拋物线 上，又在直线BP上，点P的纵坐标相等，即x2x1=2x4，解得x1=，x2=2(舍去)。2325 当x=时，y=9，点P的坐标为(，9)。2525 综上所述，满足题目条件的点P为(，)或(，9)。2523258解：（1）点 B（2，m）在直线 y=2x1 上m=3 即 B（2，3）又抛物线经过原点 O设抛物线的解析式为 y=ax2+bx点 B（2，3），A（4，0）在抛物线上，yABCOxPyABCOPx解得：设抛物线的解析式为（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若 SADP=SADC，又点 C 是直线 y=2x1 与 y 轴交点，C（0，1），OC=1，即或，解得：点 P 的坐标为（3）结论：存在抛物线的解析式为，顶点 E（2，1），对称轴为 x=2；点 F 是直线 y=2x1 与对称轴 x=2 的交点，F（2，5），DF=5又A（4，0），AE=如右图所示，在点 M 的运动过程中，依次出现四个菱形：菱形 AEM1Q1此时 DM1=AE=，M1F=DFDEDM1=4，t1=4；菱形 AEOM2此时 DM2=DE=1，M2F=DF+DM2=6，t2=6；菱形 AEM3Q3此时 EM3=AE=，DM3=EM3DE=1，M3F=DM3+DF=（1）+5=4+，t3=4+；菱形 AM4EQ4此时 AE 为菱形的对角线，设对角线 AE 与 M4Q4交于点 H，则 AEM4Q4，易知AEDM4EH，即，得 M4E=，DM4=M4EDE=1=，M4F=DM4+DF=+5=，t4=综上所述，存在点 M、点 Q，使得以 Q、A、E、M 四点为顶点的四边形是菱形；时间 t 的值为：t1=4，t2=6，t3=4+，t4=