小学数学-渗透“画图”策略-提高解决问题能力.doc

渗透“画图”策略 提高解决问题能力
——《圆环面积》教学的实践研究
【内容摘要】
当学生面对着一个比较综合、有一定难度的数学问题，怎样才能引导学生迅速地找到其突破口，打开学生的解题思路呢？俗话说妙计可以打胜仗，良策则有利于解题。数学解题策略有许多种，其中画图是一种最基本的解决问题的策略。因为小学生年龄小，抽象思维水平不高，而画图比较直观。通过画图能够把一些抽象的数学问题具体化，把一些复杂的问题简单化，容易找到解决问题的关键。所以引导学生采用画图的策略，十分适合小学生的思维特点，也是我最常向学生推荐的一种解题策略。下面结合一道运用圆环面积计算公式解决实际问题的的题目来谈谈在教学中渗透“画图”策略，提高学生解决问题能力的反思与体会。
【关键词】渗透 “画图”策略 解题策略的指导 应用价值 教学建议
一、缘起
人教版六年级上册数学配套的《作业本》P34，有这样一道题目：
一元硬币的直径为25mm，其中有一圈1mm宽的边。这一圈边的面积是多少平方毫米？(先看一看1元硬币，再想想怎么算，然后计算)

设计的目的是让学生运用圆环的面积公式解决实际问题。但从学生完成练习的结果反馈：近八成的学生出现了各种各样的错误，如：
①25÷2＝12.5　　12.5＋1＝13.5　　3.14×(13.52 －12.52)　
②25÷2＝12.5　25＋1＝26　26÷2＝13　3.14×（132－12.52）
③25÷2＝12.5　25－1＝24　　24÷2＝12　3.14×（12.52－122）
……
其中有一半竟然是一直以来教师心目中的优生。评讲后，将这一道习题作为典型错例原题照搬到单元测试卷中，测评结果仍然不容乐观，还有近四成（39.6%）的同学仍然出现了不同程度的错误，当中也仍然有好几个教师心目中的“优生”。本以为这是自己班级中的特殊现象，不足为鉴。想不到在与其它班数学老师的交流中发现，每个班都出现了类似的现象，有些班级出现的结果还更严重，能正确完成的也就那么少部分同学。
这一现象引起了我的重视，看样子，问题并没有刚开始想的那么简单，第一次《作业本》上出现时，我总认为学生懒，题目的问题后面明明写着提示：先看一看1元硬币。却不愿意拿1元硬币看一看，题目乱做。
到底是什么原因让学生一错再错呢？怎么解决呢？
◆调查解题错误的学生，了解解决这道题的相应知识是否掌握。
一问：你知道“硬币一圈边”是什么形状吗？
二问: 你知道圆环的面积计算公式吗？
三问：求圆环的面积，必须知道哪些条件？
发现错误的同学中除了二、三个学困生，都能说出“硬币一圈”是圆环，圆环的面积计算公式是外圆面积－内圆面积，也可以用π×（R2－r2）,从学生错误的算式中我们也可以看到圆环面积计算公式的影子。这说明前一节课的知识目标是达成的，根据经验，我估计问题的症结在于——学生根据文字叙述找不出解决问题的条件。
为了证实问题是否出在“学生根据文字叙述找不出求圆环的两个必要条件：R和r”。 为此，我设计了一组调研题(见下)，为了避免相互干扰，我将这组题目分两个时间完成。
1、计算下面阴影部分的面积。(单位：厘米)

2、在直径为4米的圆形花坛内有一条宽1米的环形小路。这条小路的面积是多少？

统计结果(第一题的正确率是84.1%，第二题的正确率只有41.3%)，证实我的猜测，问题的症结在于学生根据文字叙述找不出解决问题的条件。
◆调查解题正确的学生，了解学生解决这道题的解题策略有哪些？
叫来第一次《作业本》上做对的13人进行了解，通过询问发现做对的同学中：
解题策略
看实物的
画图的
想一想的
别人教的
人数
5
4
2
2
可见，借助于实物或者是画图，数形结合，学生就能比较容易的找到解决问题的条件。
◆错误的学生为什么不画图呢？是不会画吗？一问之下，结果令人惊讶，几乎所有的学生都说“我没有想到”。甚至还有几个同学说“题目又没有要求我们画图”。这一结果真让我们老师无言以对,哭笑不得。
◆怎样讲评这道题目呢？问了几个老师，不约而同的说：“要么拿实物给他们看，或者画图给他们看”，再让他们从实物上或从图上找出解决问题的条件：R和r。
不管是学生，还是老师，都认为“画图”是解决这类实际问题的好策略，那学生为什么想不到画图呢？学生缺少画图的解题策略，肯定于我们前面的教学有关。因为教学结果其实是教学过程在一定程度上的必然呈现。那么在新授课时，我们对此进行渗透了吗？为了更清楚地说明问题，我调出了同年级任课老师《圆环面积》的教学设计及课件，发现无一人叫学生画图，碰到类似问题，是老师画在黑板上，或者是题目和图形一起在课件中呈现。这也难怪大部分学生会想不到画图!
如何变“老师画”为“学生画”，如何变“要我画”为“我要画”，让学生在思考的过程中产生画图的需要，在自己画图的活动中体会方法、感悟策略、发展思维、获得思想。我设计了一节课——巧用“画图”策略，提高解决问题能力，下面从几个片段进行一些反思与体会。
二、片段回放与反思
片段一（“画图”的热身运动）
1、请学生在纸上任意画一个圆，提问：你能求出它的周长和面积吗？
2、再画一个与它大小不一样的圆，这两个圆有哪几种位置关系？想一想，再动手画一画。
3、反馈，展示学生的各种位置关系：
4、师：几号图形是我们上节课认识的圆环呢？你知道圆环的面积计算公式吗？先测量所需数据再计算。
师：今天我们继续学习有关圆环面积计算的实际问题。
[反思]课始，我让学生两次画图。第一次任意画一个圆，目的是再现有关圆的特征以及周长、面积计算公式。第二次再画一个大小不一样的圆，使这两个圆形成不同的位置关系。学生的表现是很出色的，如：

(1) (2) (3)

(4) (5) (6) ……
看起来这好象是很简单的一画，但是这“一画”于课始就吸引了学生，使学生能全身心投入到课堂上。这“一画”画出了新旧知识间的桥梁，画出了求圆环面积的各种条件，如先测量再计算时，测量的条件也各不相同：有的测量R和r；有的测量D和d；有的测量D和r；有的测量r和环宽……学生是各有各的办法，与圆环面积计算相关的各种数据以及这此数据间的联系活生生地进入学生的脑海，为后面揭示用“画图”策略解决问题作好铺垫。
片段二（激发“画图”需要）
1．出示例题（选自浙江教育出版社出版的《同步课时特训》P109）。
将一直径6米的圆形花坛向周围拓宽2米，花坛的面积比原来增加了多少平方米？(生自主阅读例题，理解题意)
2．画图分析。
师：这道题叫我们求什么？
生：花坛的面积比原来增加了多少平方米？
师：那这一部分是什么形状?计算它又需要哪些条件?这些条件已知吗?
(大部分学生不能马上回答，但从学生脸上可观察出他脑子里正在想。)
师：光看文字叙述，你感觉怎么样?
生：不是很清楚。
师：可用什么方法帮助我们更清楚地整理题中的条件和问题?
生：可以画图。
师：是啊!画图就是解决问题的一种策略。请同学们根据题意先试着画图。
【反思】例题只有文字叙述，具有一定的挑战性，学生往往不能直接看出要求的图形，以及几个数量之间的关系。此时我没有直接让学生画图，而是通过“这道题叫我们求什么？这一部分是什么形状，计算它又需要哪些条件，这些条件已知吗?光看文字叙述，你感觉怎么样? 可用什么方法帮助我们更清楚地整理题中的条件和问题?”这四个问题，诱发学生产生心理需要“一下子想不出方法怎么办？”，需要一种方法帮助自己理解题意。因为课始学生做了画图的“热身运动”，此刻学生马上觉得画图是一种解题的方法，从而主动地采用画图的策略。
片段三（适时引导“画图”）
（全体学生独立在草稿本上尝试画图后，我让一个学生上黑板根据题意画，并适时进行引导）
师：直径6米标在哪里？（同学来标）

师：向周围拓宽2米怎么画？（重点指导）
（有的学生直接延长了直径，使增加的只是一条线段，如下图）

师：这就叫做向周围拓宽2米吗？
生：应该两边同时都要拓宽2米。
生: 应该是向四面八方都拓展2米。（如下图）

师：哎，向周围拓宽2米，面积好像没有增加？
生：老师，还要再画一个圆！
师：这个圆在哪里呢？（指一指）原来都拓展2米形成的图形是一个圆！（老师赶紧画一个圆）增加的面积在哪里呢？我们一般用阴影来表示。
如图：

(接下来老师进一步指导学生在图上标出有关数据和所求问题，如下图。其他学生逐步完善自己所画的图形)

【反思】步步为营地引导学生分析这样画是否符合题意，特别重点指导“向周围拓宽2米怎么画”，让学生在纠错的过程中掌握画图的方法，深刻地体会到向周围拓宽2米什么意思，拓宽后它的面积也增加了。当我和学生一起把题目中的文字变成这样一幅看似简约、线条寥寥无几但又充满生动的“直观图”时，学生的注意力一直没有离开过课堂，唤起学生的有意注意，学生学得生动活泼，印象深刻，充分展示了数学内在的魅力。
片段四（ 看“图形”解决问题）
师：画图之后再来解决问题，你愿意看着原来的文字思考还是看着图形思考?为什么?
生：看图形思考，比较方便。
师：画图后，你发现现在的花坛和原来的花坛半径和直径各有什么关系？
生：半径增加了2米，直径增加了2个2米，也就是增加了4米。
生：原来半径是3米，现在半径是5米;原来直径是6米,现在直径是10米。
师：增加部分的面积就是是圆环的面积，现在你能列出算式解决问题吗?
(生自主列式计算，师指名学生板书)
生：3.14×[(3+2)2-32 ]=
3.14×[(10÷2)2-32 ]=
师：3是什么？3+2是什么？10是什么？10÷2又是什么？在图中指一指
【反思】当抽象的文字叙述，转化为直观的图画时，学生对数量关系一目了然，自然会对画图的方法产生兴趣和好感，此时老师追问：“现在看图和文字哪个好？为什么？”有如顺水推舟让学生在“文字”和“图形”两者的比较中体会到了画图的价值，为学生正确解题打下了扎实的基础。当学生画图之后，通过观察比较，将数与形的意义对应起来，大部分学生结合已有旧知都能解决所求问题。后面列式之后让学生说出“3是什么？3+2是什么？10是什么？10÷2又是什么”，再次数形对照，理解列式原理。
片段五（回顾反思“画图”）
师：刚才我们为什么要画图呢?
生：没有画图时，光看文字，看不出花坛向周围拓展2米的变化。
生：画图之后，可以看出原来花坛的半径是多少，现在花坛的直径和半径是多少。
师：看来，画图确实是一种有效的策略。
【反思】在解决问题之后让学生回顾与反思，感受画图策略的价值所在。使学生在对解决问题过程的不断反思中，感受到画图策略对于解决问题的价值；使学生进一步积累了解决问题的经验，增强了解决问题的策略意识，并获得了解决问题的成功经验，从而提高了学生学好数学的信心。事实上，策略作为一种隐性的、潜在的知识，本身并不易为学生所清晰地感知与把握。因此在经历解决问题的过程后作出必要的反思，无疑是策略教学十分重要的一环，也是构建策略的精髓所在。
三、“画图”策略应用的价值
1、画图——数形相结合，激发学生的兴趣。
布鲁纳说过：“最好的学习动机莫过于学生对所学材料本身具有内在的兴趣。”然而数学最本质的东西是抽象的,很多学生看到只是用单调文字叙述的数学题一筹莫展时，往往容易对数学产生厌恶，甚至是恐惧感。基于这一点，我们一定会想“如果能使抽象枯燥的数学知识，形象化，具体化，使得数学教学充满乐趣，那该多好啊！”如何使“数”添“形”，这么多年的教学经历和反思，让我觉得画图是很好的辅助工具。画图就是数形相结合，把抽象的东西形象化, 把“无形”的数学题变成直观的、能摸得着的“有形”材料，学生在一幅幅自画的图形中看到解题的“曙光”，慢慢解除“怕”的 心理，逐渐从老师“要我学”转变成“我要学”的良好的学习心理，有利于学生学习兴趣的培养，从而有可能获得最佳的教学效果。
2、画图——解题的中介，最大限度地激活学生的思维。
教育大师苏霍姆林斯基说过“孩子的智慧在手指上”。学生在解决数学问题的过程中利用画图这个中介辅助理解题目，其实他们在画图的过程中就是展示其数学思维过程，闪烁其数学思维火花的过程。学生能把一些看似剪不断、理还乱的数学难题，“翻译”成图表的符号，化繁为简，使问题变得井然有序。整个过程中，学生把文字转成图画，把图画转成思维，是一个从“外化”到“内化”的过程，是一个发展学生逻辑思维的过程。另外，小学生的思维形式处在以形象思维为主导的思维形式向抽象逻辑思维形式转化的阶段，他们抽象思维能力较弱，但好奇心较强，对具体形象的内容、生动活泼的形式、新奇动人的事物比较敏感。如果在教学过程中巧用“画图”，能将教学内容化静为动，培养学生的抽象思维能力，引导学生在真实鲜明的感性认识中，发展智力因素，可有效地培养他们的抽象思维能力。
3、画图——感悟策略，提升学生的数学思想方法。
离开教学活动过程，数学思想方法也无从谈起。可见在我们的教学活动过程中，学生的参与是非常重要的，没有参与就不可能对数学知识、数学思想产生体验；没有了体验，那数学思想只能是一种空话。所以在教学过程中，采取画图吸引全体的学生参与到数学教学过程中，让他们以一种积极的状态，主动参与到数学教学过程来，在这样的气氛下，我们的老师通过启发引导，助学生不断积累数学活动经验，感受画图解题策略价值，提升数学思想方法，同时让学生根据自己的体验，逐步领悟，用自己的思维方式构建出数学思想方法的体系。
四、整理教材，做“解题策略”的有心人。
翻阅人教版的1——12册教材，可以发现教材对于“解决问题策略”并没有以独立的单元形式进行教学，但是在教材的很多领域里都蕴涵着解决问题策略的材料，特别是在“数学广角”这部分内容。下面是我对人教版教材以“画图策略的运用”的一个整理。（如下表）

页数
教学内容
画图策略的运用
一上
　P6-7
　比一比

可引导学生用自己喜欢的图形画一画、比一比。
一下
P27-29
图形的拼组
　下图中缺了( )块,可让学生亲自画一画,感受一下。
二上
　P99
　数学广角
　每两个人握一次手，3个人一共要握几次手？

二下
P115
找规律

例1：

三上
P112
数学广角“搭配问题”
　有几种不同的穿法：

三下
P108
数学广角“集合”

四上
P113
(1分钟)
数学广角“沏茶问题”
把“沏茶问题”用示意图来表示出来：
(8分钟)
(1分钟)
(1分钟)
洗水壶 接水 烧水 沏茶
(2分钟)
洗茶杯
找茶叶

(1分钟)

尽快让客人喝上茶的时间是：1+1+8+1=11（分钟）
四下
　P117
数学广角“植树问题”
两端都种：

两端都不种：

一端种：

五上
　P92
组合图形的面积

2cm
通过画一画，把图形分成几个简单的图形再算出它的面积。

5cm

5cm

五下
　P64
　分数的意义

任选一个，在图中涂色表示出来。

六上
　P112-123
数学广角“鸡兔同笼”
　笼子里有若干只鸡和图兔。从面上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有多少只？

如果笼子里都是鸡，那么就有8×2＝16只脚，这样就多出26－16＝10只脚。

一只兔比一只鸡多2只脚，也就是10÷2＝5只兔。所以笼子里有3只鸡和5只兔。

六下
　P91

数学思考

例5：6个点可以连成多少条线段？8个点呢？

1、教材在“画图”策略编写中的优点：
（1）呈现形式比较丰富。主要有：线段图、示意图、统计图、实物图等。
（2）画图要求不高，不强求统一的格式，只要学生画的图能够有效地帮助自己
分析和解决问题即可。
（3）画图策略几乎贯穿于整套教材之中，无论是在解决简单问题还是解决复杂
问题时都发挥了画图策略的优势，通过各种图形帮助学生把抽象问题具体化、直观化，
从而使学生能从图中理解题意和分析数量关系，搜寻到解决的突破口。 
2、教材在“画图”策略编写中的不足：
（1）教材对画图策略没有一个具体的指导，教材在解决问题的过程中都比较重视运用画图策略，但都缺乏明确的指导。例如，在教材中的画图策略都是直接呈现或以问题形式提示学生，但具体该怎样画却没有体现。这样不利于教师准确把握教材，也不利于学生更好地掌握画图策略。
（2）画图策略缺乏整体设计，各年段的联系和渗透体现不明显。教材对画图策略的编排系统性不强。在低年级主要以实物操作、实物图的形式呈现的，画图策略相对隐性。在中年级画图策略体现得较少。到了高年级画图策略相对明确，且呈现形式比较多样。
鉴于以上对教材的梳理和分析，在整体把握画图策略的基础上，“如何在解决问题过程中培养学生的画图策略”就成为急需解决的问题了。
五、“画图”策略教学的几点建议。
1、帮助学生不断体会画图策略的价值和作用。
解决问题的策略多种多样，其中画图是一种最基本的解决问题的策略。因为图形比较直观，通过画图能够把一些抽象的数学问题具体化，把一些复杂的问题简单化。低年级孩子对抽象的数量关系的理解存在着一定困难。如果适时的让孩子们自己在纸上涂一涂、画一画，可以帮助学生分析理解抽象的数量关系，从而找到解决问题的方法。因此在低年级教学中教师就应有意识的教给学生借助图来分析理解数量关系。 　　　　　
2、鼓励学生运用多种图的形式分析和解决问题。
在传统的应用题教学中，提到画图教师们想得更多的是线段图，而且那时的线段图在画法上也有明确的要求，如：单位“1”要标在图的上面，画图必须准确，要用直尺等，可以说传统的教学更多的是把画图作为一个知识教给学生，而不是把它看成帮助学生解决问题的一个策略来进行教学，所以学生不愿意按照老师的要求来画图。新教材把画图作为一种策略来教给学生，而且画图的形式也不只限于线段图，学生可以根据自己的需要画出不同的图来帮助自己分析、理解数量关系，解决实际问题。因此教师应鼓励学生运用多种图的形式分析和解决问题，教师要认识到学生所画的图，在老师的眼中也许有优劣之分，但在孩子的思考过程中并没有好坏之别，都反映出学生对问题的理解和所作出的努力。只要学生画的图能够有效地帮助自己分析和解决问题都应得到教师的肯定，不必强求统一的格式。这为树立学生的自信心和培养他们的创新精神提供了很有价值的机会。
3、重视对解题策略的指导，将“隐性”的策略“显性化”。
在以往的应用题教学中教师更多地注重知识教学和问题本身的解决，而不重视对解题策略的总结和归纳，教学中要重视对学生解决问题策略的指导，将“隐性”的解决问题的策略“显性化”。这样有助于学生体会到策略在解决问题中的价值，提高学生解决问题的能力。在实际教学中，要帮助学生掌握用画图策略解决问题的过程，促进学生体验出画图策略的作用。可以这样指导： ①读题：要求学生熟读题目，明确题目中的条件和问题; ②画图：启发学生根据题里的条件和问题，画出相应的图形; ③显示：可在图中标出条件和问题，便于学生分析和思考; ④分析：在画图后，引导学生借助直观图形进行分析，思考先要求什么，找出解决问题的方法; ⑤解答：确定解题过程要先算什么再算什么，自己解决问题，完成解答。 学生通过运用画图策略解决问题，就能体验画图策略的有效性，感受直观图形对于解题的作用，形成应用画图策略的兴趣和自觉性。
4、注重画图策略教学中数学思想的渗透。
小学数学基本思想是指：渗透在小学数学知识与方法具有普遍而强有力适应性的本质思想。就其具体内容而言，可以分为转换思想、对应思想、归纳思想、化归思想、类比思想等，这些思想是整个小学数学的基石，也是数学通向科学殿堂的桥梁。因此教师在培养学生利用画图策略解决实际问题的过程中应有意识的渗透数学思想，特别是数形结合的思想、对应的思想、转化的思想，从而来培养和发展学生的数学能力。
5、加强小学阶段画图策略教学的整体把握，系统指导。
小学生画图策略的形成是一个漫长的过程，非一日之功。作为教师应站在一个较高的层面上用现代数学的观念去审视和处理教材，注重不同阶段对画图策略的渗透、总结和整理。如低年级可从实际演示、操作活动中渗透画图策略;中、高年级可从模拟演示、画图示意及抽象的线段图中体现画图策略。整体把握画图策略，系统地进行指导，坚持不懈，持之以恒，从而系统的培养学生运用画图策略分析、解决问题的能力。

【参考文献】：
1、 蒋巧君：《数性结合是促进学生意义建构的有小策略》. 《小学数学教师》.2006、4
2、人教版实验教材1—12册课本
3、《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》 北京师范大学出版社 2001年7月第1版
4、程方平：《课堂教学过程操作策略全书》 国际文化出版公司

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