§2.3-4卷积积分及其性质.ppt

信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-1页电子教案电子教案2.32.3卷积积分卷积积分2021/5/271信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-2页电子教案电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分2.3 2.3 卷积积分卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分1.信号的时域分解信号的时域分解(1)(1)预备知识预备知识问问 f1(t)=?p(t)直观看出直观看出2021/5/272信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-3页电子教案电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分(2)(2)任意信号分解任意信号分解“0”号脉冲高度号脉冲高度f(0),宽度为宽度为，用，用p(t)表示为表示为：f(0)p(t)“1”号脉冲高度号脉冲高度f(),宽度为宽度为，用，用p(t-)表示为：表示为：f()p(t-)“-1”号脉冲高度号脉冲高度f(-)、宽度为、宽度为，用，用p(t+)表示为表示为：f(-)p(t+)2021/5/273信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-4页电子教案电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分2.任意任意信号作用下的零状态响应信号作用下的零状态响应yzs(t)f(t)根据根据h(t)的定义：的定义：(t)h(t)由时不变性：由时不变性：(t-)h(t-)f()(t-)由齐次性：由齐次性：f()h(t-)由叠加性：由叠加性：f(t)yzs(t)卷积积分卷积积分2021/5/274信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-5页电子教案电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分3.卷积积分的定义卷积积分的定义已知定义在区间（已知定义在区间（，）上的两个函数）上的两个函数f1(t)和和f2(t)，则定义积分则定义积分 为为f1(t)与与f2(t)的的卷积积分卷积积分，简称，简称卷积卷积；记为；记为 f(t)=f1(t)*f2(t)注意注意：积分是在虚设的变量：积分是在虚设的变量下进行的，下进行的，为积分变量，为积分变量，t为参变量。结果仍为为参变量。结果仍为t 的函数。的函数。2021/5/275信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-6页电子教案电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分例例：f(t)=e t,（-t)，h(t)=(6e-2t 1)(t)，求求yzs(t)。解解：采用定义法卷积。采用定义法卷积。当当t t时，时，(t-)=02021/5/276信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-7页电子教案电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分用定义法计算卷积积分步骤：用定义法计算卷积积分步骤：（1）换元换元：f1(t)f1()，f2(t)f2(t)（2）视情况视情况变积分限：变积分限：f1()f2(t-)中是否含有中是否含有()或或(t)，如果有，如果有()，则将积分下限换为，则将积分下限换为0，如果有，如果有(t)，则将积分上限换为，则将积分上限换为t(注意：注意：t为参变量，为参变量，为自变量为自变量)。（3）积分积分：与普通函数积分一致。与普通函数积分一致。2021/5/277信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-8页电子教案电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分二、卷积的图解法二、卷积的图解法（1）换元换元：t换为换为得得 f1()，f2()（2）反转平移反转平移：由由f2()反转反转 f2()，然后，然后右右移移t f2(t-)（3）乘积乘积：f1()f2(t-)（4）积分积分：从从 到到对乘积项积分。对乘积项积分。注意：注意：t为参变量为参变量。用图解法计算卷积积分步骤：用图解法计算卷积积分步骤：2021/5/278信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-9页电子教案电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分例：例：f(t),h(t)如图，求如图，求yzs(t)=f(t)*h(t)。解：解：采用图解法卷积。采用图解法卷积。h(t-)h()反折反折h(-)平移平移t t 0时时,h(t-)向左移向左移h(t-)f()=0，故故 yzs(t)=0 0t 1 时时,h(t-)向右移向右移 1t 2时时 3t 时时h(t-)f()=0，故故 yzs(t)=0f(t)函数形式复杂函数形式复杂 换元为换元为f()。h(t)换元换元 h()2t 3 时时0h(t)h()f()h(t)2021/5/279信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-10页电子教案电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分图解法图解法一般比较繁琐，但一般比较繁琐，但若只求若只求某一时刻某一时刻卷积值时卷积值时还是比较方便的。还是比较方便的。确定积确定积分的上下限是关键。分的上下限是关键。例例：f1(t)、f2(t)如图所示，已知如图所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求，求f(2)=？f1(-)f1(2-)解解：（1）换元）换元（2）f1()得得f1()（3）f1()右移右移2得得f1(2)（4）f1(2)乘乘f2()（5）积分，得）积分，得f(2)=0（面积为（面积为0）2021/5/2710信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-11页电子教案电子教案2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质 卷积代数运算卷积代数运算 与冲激函数或阶跃函数的卷积与冲激函数或阶跃函数的卷积 微分积分性质微分积分性质 卷积的时移特性卷积的时移特性 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。2021/5/2711信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-12页电子教案电子教案2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。一、卷积代数一、卷积代数满足乘法的三律：满足乘法的三律：1.交换律交换律：2.分配律分配律：系统并联运算系统并联运算3.结合律结合律：系统级联运算系统级联运算证明：证明：2021/5/2712信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-13页电子教案电子教案系统并联系统并联系统并联，框图表示：系统并联，框图表示：结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和。各子系统冲激响应之和。2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质2021/5/2713信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-14页电子教案电子教案系统级联系统级联系统级联，框图表示：系统级联，框图表示：结论：子系统级联时，总的冲激响应等于结论：子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。子系统冲激响应的卷积。2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质2021/5/2714信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-15页电子教案电子教案2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质二、函数与冲激函数的卷积二、函数与冲激函数的卷积1.f(t)*(t)=(t)*f(t)=f(t)证：证：f(t)*(t t0)=f(t t0)2.f(t)*(t)=f(t)证：证：f(t)*(n)(t)=f(n)(t)2021/5/2715信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-16页电子教案电子教案3.f(t)*(t)(t)*(t)=？2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质注意区分：注意区分：t(t)特例：特例：2021/5/2716信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-17页电子教案电子教案2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质三、卷积的微积分性质三、卷积的微积分性质1.证：上式证：上式=(n)(t)*f1(t)*f2(t)=(n)(t)*f1(t)*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2.证：上式证：上式=(t)*f1(t)*f2(t)=(t)*f1(t)*f2(t)=f1(1)(t)*f2(t)3.在在f1()=0和和f2()=0的前提下，的前提下，f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)2021/5/2717信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-18页电子教案电子教案2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质例例1：f1(t)=1，f2(t)=et(t)，求求f1(t)*f2(t)解解：通常复杂函数放前面，代入定义式得：通常复杂函数放前面，代入定义式得 f2(t)*f1(t)=注意：套用注意：套用 f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)=0*f2(1)(t)=0 显然是错误的显然是错误的。例例2：f1(t)如图如图,f2(t)=et(t)，求，求f1(t)*f2(t)解法一解法一：f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)f1(t)=(t)(t 2)f1(t)*f2(t)=(1-et)(t)1-e(t-2)(t-2)2021/5/2718例例2:2:图图图图(a)(a)系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激响应响应响应响应 如图如图如图如图(b)(b)所示。求复合系统的冲激所示。求复合系统的冲激所示。求复合系统的冲激所示。求复合系统的冲激响应响应响应响应 ，并画出它的波形。，并画出它的波形。，并画出它的波形。，并画出它的波形。(a)(b)解：解：解：解：如图（如图（如图（如图（c c）所示）所示）所示）所示 (c)2021/5/2719信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-20页电子教案电子教案2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质解解：f1(t)=(t)(t 2)f1(t)*f2(t)=(t)*f2(t)(t 2)*f2(t)(t)*f2(t)=f2(-1)(t)四、卷积的时移特性四、卷积的时移特性若若 f(t)=f1(t)*f2(t)，则则 f1(t t1)*f2(t t2)=f1(t t1 t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t t1 t2)=f(t t1 t2)前例前例：f1(t)如图如图,f2(t)=et(t)，求，求f1(t)*f2(t)利用时移特性，有利用时移特性，有(t 2)*f2(t)=f2(-1)(t 2)f1(t)*f2(t)=(1-et)(t)1-e(t-2)(t-2)2021/5/2720信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-21页电子教案电子教案2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质例例：f1(t),f2(t)如图，求如图，求f1(t)*f2(t)解解：f1(t)=2(t)2(t 1)f2(t)=(t+1)(t 1)f1(t)*f2(t)=2 (t)*(t+1)2 (t)*(t 1)2(t 1)*(t+1)+2(t 1)*(t 1)由于由于(t)*(t)=t(t)据时移特性，有据时移特性，有f1(t)*f2(t)=2(t+1)(t+1)-2(t 1)(t 1)2 t(t)+2(t 2)(t 2)2021/5/2721信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-22页电子教案电子教案2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质求卷积是本章的重点与难点。求卷积是本章的重点与难点。求解求解卷积的方法卷积的方法可归纳为：可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分利用定义式，直接进行积分。对。对于容易求积分的函数比较有效。如指于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。数函数，多项式函数等。（2）图解法图解法。特别适用于求某时刻点。特别适用于求某时刻点上的卷积值。上的卷积值。（3）利用性质利用性质。比较灵活。比较灵活。三者常常三者常常结合结合起来使用。起来使用。2021/5/2722信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-23页电子教案电子教案 相关函数是研究一个函数和另一个函数相关函数是研究一个函数和另一个函数经过一个延时经过一个延时后的相似程度，它被广泛应后的相似程度，它被广泛应用于雷达回波的识别、通信同步信号的识别用于雷达回波的识别、通信同步信号的识别等领域，是鉴别信号的有力工具。等领域，是鉴别信号的有力工具。相关是一种与卷积类似的运算。与卷积相关是一种与卷积类似的运算。与卷积不同的是不同的是没有一个函数的反转没有一个函数的反转。相关函数的定义相关函数的定义 相关与卷积的关系相关与卷积的关系 相关函数的图解相关函数的图解五、相关函数五、相关函数2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质2021/5/2723信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-24页电子教案电子教案1.1.实能量有限信号相关函数的定义实能量有限信号相关函数的定义两个两个实实能量有限能量有限函数函数f1(t)和和f2(t)的互相关函数定义为的互相关函数定义为 由上式可得，由上式可得，R12()=R21()。（2）自相关函数：）自相关函数：显然，显然，R(-)=R()，R()为偶函数。为偶函数。2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质在上式中若在上式中若f1(t)=f2(t)=f(t)，得自相关函数，得自相关函数（1）互相关函数：）互相关函数：2021/5/2724信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-25页电子教案电子教案2.2.相关与卷积的关系相关与卷积的关系可见，可见，R12(t)=f1(t)*f2(t)，同理，同理，R21(t)=f1(t)*f2(t)。特别地，若特别地，若f1(t)和和 f2(t)均为实偶函数，则卷积均为实偶函数，则卷积与相关完全相同。与相关完全相同。2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质2021/5/27253.3.相关函数的图解相关函数的图解 (0t(0t1 12)2)2021/5/2726信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-27页电子教案电子教案4.实功率有限信号相关函数的定义实功率有限信号相关函数的定义若若f f1 1(t)(t)与与f f2 2(t)(t)是是实实功率有限功率有限信号信号（1）互相关函数：）互相关函数：（2）自相关函数：）自相关函数：2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质2021/5/2727信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-28页电子教案电子教案解：解：对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有5.5.求解实例求解实例2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质2021/5/2728