基于涨跌停制度Tobit-AR-GARCH模型及其估计.doc

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谢欣燕摘要涨跌停制度是中国股市的一大特点，该制度将改变时间序列的自相关系数和数据分布特点，因而经典时间序列模型ARCH类、GARCH类和SV类模型不能直接处理涨跌停制度下的金融制度数据。由于中国股票市场具有这种限制，本文利用了Tobit-AR-GARCH模型来分析股票价格，并给出了在涨跌停限制下模型阶数确定方法，以及模型参数估计的贝叶斯估计方法。最后，作为此模型的应用和对比，本文用AR-GARCH和Tobit-AR-GARCH参数进行比较，同时比较了Tobit-AR-GARCH的最大似然估计与贝叶斯估计的优劣，结果表明贝叶斯方法稳定且可信。引言涨跌停板制度，又叫每日价格最大波动幅度限制。源于国外早期证券市场，是证券市场上为了防止交易价格的暴涨暴跌，抑制过度投机现象，对每只证券当天价格的涨跌幅度予以适当限制的一种交易制度，即规定交易价格在一个交易日中的最大波动幅度为前一交易日收盘价上下百分之几，超过后停止交易。我国的涨跌停板制度与国外的主要区别在于股价达到涨跌停板后，不是完全停止交易，而是在涨跌停价位或涨跌停价位之内的交易仍可继续进行，直到当日收市为止。这种限制在日本，法国等国家的金融市场等都存在。我们中国股市从1990年12月19日开始运行，在开始的时候是每天5%限制，但在1992年5月21取消了这个规定，然而经历股票价格大波动后在1996年12月再次起用股票日价格限制而是基于前一个交易日收盘价上下线不能超过10%。国外学者对涨跌停制度的研究普遍早于国内学者，其研究重点主要集中于考察涨跌停制度是否降低了股价的波动性。Ma, Rao 和Sears(1989)，Lee 和Kim ( 1995) ，Chen 和Jeng ( 1996)， Kim 和Rhee ( 1997) ，Phylaktis, Kavussanos和Manalis (1999) ，Kim (2001) 分别对美国国债期货市场、韩国股市、芝加哥商品交易所的外汇期货、东京股票交易所、希腊股市、台湾股票交易所进行了研究，其结论各异。大多数的实证研究都不能同时观察到没有受到涨跌停限制的股价和已经受到涨跌停限制的股价, 所以, 实证研究的结论并不是很理想。对于涨跌停制度,国内学者作了很多研究，其结论各异。孙培源等( 2001) 的研究认为涨跌幅限制并没有降低股价波动性。陈平等(2003) 认为涨跌幅限制不同程度地造成波动溢出, 价格发现延迟和交易干扰。吴林祥等(2003) 认为涨跌幅限制能够减小过度反应。胡朝霞(2004) 的研究认为, 涨跌幅限制不能降低市场波动性, 反而会扭曲价格发现的功能。刘海龙等( 2005) 的研究认为涨跌幅限制对不同的股票效果不一样, 对有些股票增加了波动性, 有些股票降低了波动性。柴宗泽（2009）涨跌停限制能够在一定程度上降低回报率的方差，提高回报率自相关系数的上升，并得到了真实而观察不到的价格。研究中国股市时，通常直接利用ARCH模型和GARCH模型，而忽视了中国股市涨跌停限制对股价的影响。王军伟（2009）把这类数据分为两大类：一类是数据截断部分的信息完全丢失，如物理学，天气研究时仪器造成截断数据；另一类数据截断部分的信息依然在序列，如中国股票价格。对于第一类数据：Robinson(1980) 建议利用缺失数据弥补方法来处理tobit类数据；Zeger and Brookmeyer（1986）建议用完全似然方法估计tobit数据；Park（2007）证明了弥补数据的有效性和无偏性。针对第二类数据：曾卫东（2004）提出了涨跌停限制下股票日收益率可能遵循tobit自回归GARCH模型并给出了最大似然方法；王军伟（2009）提出tobit时间序列的滞后阶数确定方法以及经验贝叶斯估计参数。使用经典时间序列模型，ARCH类、GARCH类和SV类模型处理受涨跌停限制的数据时会引起模型风险。tobit数据与真实数据服从的分布不同，不能直接用在正态分布前提下的模型。受涨跌停限制的数据提高其自相关系数，因而利用经典时间序列模型确定阶数的方法求得的阶数存在偏差。在有涨跌停限制的市场，一条信息对相关金融产品的价格影响是一定的，由于有了制度性限制，该信息对金融产品的价格影响有可能不能在一天之内表现出来，而在该交易日之后将继续表现。如何对此类数据进行分析是我国金融建设过程中必须解决的问题，其研究也将影响中国金融产品定价的准确性。 本文利用Tobit-AR-GARCH模型来分析股票价格，并提出了在涨跌停限制下模型阶数确定方法，给出相关的贝叶斯估计方法进行参数估计。最后，作为此模型的应用和对比，笔者用AR-GARCH和Tobit-AR-GARCH参数进行比较，同时比较了Tobit-AR-GARCH的最大似然估计与贝叶斯估计的优劣，结果表明贝叶斯方法稳定而且可信。数据类型和模型因为在中国股票市场，涨跌停限制每天不能涨跌停10%，根据此限制我们可以构造出数据产生模式(1-1)、(1-2)、(1-3)。假设、分别表示真实的序列数据和观测的序列数据。由于涨跌停的限制， 是截断数据。(1-1) (1-2) (1-3)令a，b是涨跌停限制其大小不固定，c 和d 是常量。进行对数变化：.AR-GARCH模型 ,(2)Tobit-AR-GARCH模型 , (3) , , 并且与独立的。同时我们把序列数据分成三个部分Y1=yt| if ayt b, Y2=yt| if yt =a和 Y3=yt| if yt = b。当 yt 来自子样本集合Y1, 没有限制的密度函数是： (4)在这里是标准正态分布密度函数.当 yt 来自子样本集合Y2, 具有下限的密度函数是： (5)在这里是标准正态分布函数.当 yt 来自子样本集合Y3, 具有上限的密度函数是 (6)因此，最后得到Tobit-GARCH模型似然函数： (7)同理，可以得到Tobit-AR-GARCH模型似然函数 (8)而。最终, 我们可以得到Tobit-AR-GARCH模型对数似然函数 (9)根据（9），从而得到. 为了最大化对数似然函数（9）， 我们让其一阶导数为0,并且起二阶导数小于0。根据和，可以得到 (10-1) (10-2) (10-3) (10-4) (10-5)最大似然估计受参数的初始值影响很大(Jianqing Fan & Qi wei Yao 2005)，为了使得到的估计值稳定，笔者利用贝叶斯方法进行参数估计。 (11)最大似然方法估计参数，根据(10-1)至(10-5)得到估计值，尤其当是负定矩阵，则根据(10-1)至(10-5)式求出的参数是最大似然估计值。贝叶斯方法估计参数，同理根据(11)得到估计值。虽然贝叶斯方法和最大似然方法在样本量足够大的时候效果相似，但是通常大部分的数据量不满足大样本要求，此时用贝叶斯的效果更好。数据描述统计中国实施股改政策，股改前后机构投资者在市场中的比重不同，股改后原来的法人股东与流通股东的利益趋于一致，上市公司的投资价值提高，所有的股东行为趋于理性。因此，笔者随机选用股改后的股票数据华能国电（600027），其数据来自大智慧。华能国电股改实施从2006年8月1日，笔者选取该日期以后的股票收盘价数据，共746个。图1 2006年8月1至2009年8月28日华能国电（600028）股票日价格如图1显示，该股票价格波动较大，从开始日价格2元到2007年7份11元左右，随后跌到6元附近，而后在2007年10月攀升至近12元，此后开始下跌。根据中国股市不超过10%的涨跌停限制，对746个数据进行统计，其中有5次下跌幅度超过10%， 9次上涨超过10%。且其中有1次是连续两天下跌，从2007年5月31日的11.09元到下个交易日的9.98元，接着到下一个交易日的8.97元。如果股市没有涨跌限制，这次下跌一次到位就是8.80元，因为这样限制使得信息一次不能表达完全而后继续表达。对这些数据进行描述性统计分析，见表1：表1 数据描述性统计量统计量统计值统计量统计值统计量统计值均值5618中位数508偏度0546标准差2308众数225峰度-0.627方差5327变异系数4108极差9.76笔者对数据进行正态分布检验，结果拒绝原假设。同时根据表1利用峰度和偏度联合检验得到统计量为5.93,p值0.025，结论一致也不是正态分布，表明该数据不是正态分布。GARCH模型建立及其估计（1）ARCH效应检验表2 Q和LM统计量的ARCH效应检验滞后阶数Q统计量P值LM统计量P值1707.3482.0001703.0430.000121369.7064.0001703.3330.000131987.2217.0001703.3703.000142558.2074.0001703.5258.000153090.5553.0001703.7360.000163595.4626.0001704.2999.000174076.8086.0001704.3111.000184536.0123.0001704.3210.000194972.3297.0001704.3875.0001105389.7849.0001704.5401.0001115780.4558.0001705.2277.0001126144.2289.0001705.2287.0001根据表2显示，Q统计量和LM统计量的p值都小于0.0001，得知ARCH效应非常强，ARCH模型很适合处理这批数据。（2）建立ARCH模型, (12)在忽视tobit现象时，笔者通过AIC，AICC准则建立AR（1）-GARCH（1，1）t分布模型，该模型的AIC，AICC分别为-1255.13, -1255.04, 值较小 其对数似然为632.56比较大。根据表3显示，其相应的参数也比较显著。表3 忽视tobit现象的AR-GARCH模型参数估计参数自由度估计值标准差T值P值参数标签1-1.00140.000935-1071.0.000110.0007570.0003732.030.042410.38180.08214.65.000110.73080.031822.95.0001df10.28370.04226.73.0001T分布的自由度虽然该类模型的R-square都为0.9983，参数比较显著。但是数据本身不服从正态分布，与模型假设不符。同时用其他模型得到的AIC，AICC值都很大同时对数似然比较小。如：用AR(1)-GARCH(1,1)时，其对数似然为139.55, 而AIC，AICC分别为-271.10和-217.04。且在忽视tobit现象的时候，计算其自相关系数为0.9519，而用AR-GARCH中该系数为-1.0014，其绝对值大于1(p值0.0001), 与实际不符合。因此，AR(1)-GARCH(1,1) 模型不适合该数据。Tobit-AR-GARCH模型及其估计Tobit-AR-GARCH模型 ， (13)在不忽视tobit现象时，根据王军伟（2009）处理相关数据模型阶数确定的方法。首先需要判断AR的阶数。根据偏自相关系数图2，可以得到AR的阶数至少为1。计算偏自相关系数应该落在的区间为，这时可以确定阶数大于2。然后按照AR模型得到系数估计，只有AR(2)参数能够通过检验，因此确定该阶数初始值为2。根据k=min(1-c)k,(1-d)k，在这里取c=d=0.1,可以计算出k=1。图2 偏自相关系数和其图然后，根据AR(1)模型计算出残差取其平方后，类似与上面的方法可以得到GARCH模型的p和q。由自相关系数图和偏自相关数图p和q同时取2，依据p=min(1-c)p,(1-d)p，q= max(1-c)q,(1-d)q，求出p=1，q=1。于是可以确定该模型为Tobit-AR(1)-GARCH(1)。利用最大似然估计方法对Tobit-AR(1)-GARCH(1)模型进行参数估计，见表4表4 考虑tobit现象的AR-GARCH模型参数估计参数自由度估计值标准差T值P值a01003639600162267002371099430.0036276.21.000118.51E-9099999010.85970.0955574.65.000110.00020.0001222.9500776根据表4显示，估计值不全部显著，比如a0的p值大于0.01,即使放宽以0.05为准则时，的p值仍大于它不显著。利用最大似然估计方法计算对数似然值为119.17, AIC值为-228.34, AICC为-228.245。但是最大似然方法受其初始值的影响很大，有时候很快可以收敛，有时候却很慢，而且每次收敛值都不一样。因此，选择利用经验贝叶斯进行估计，该方法可以利用先前研究的知识，且结果相较稳定。表5 贝叶斯估计的参数参数估计值标准差25%分位数50%分位数75%分位数后验等尾区间（95%）HPD区间（95%）a04.22980.48783.90944.23384.55493.26225.17393.26305.17410.15060.11460.07390.15130.2283-0.07790.3730-0.07530.37471.31590.94210.73471.07461.58520.37023.75110.22492.99130.83890.06430.80410.84690.88350.69100.93940.71800.95650.53880.11890.46670.54700.62190.28490.74660.30950.7638选取DIC值作为评判模型好坏的标准。DIC类似于AIC、AICC和BIC，但只有DIC可以用于样本非独立的模型。利用贝叶斯方法进行参数估计得到的DIC值为1377.38。由轨迹图显示图形非常稳定，说明markov链的均值是常数。图3-1 贝叶斯Tobit-AR(1)-GARCH(1)截距a0的诊断图图3-2 贝叶斯Tobit-AR(1)-GARCH(1)中AR系数的诊断图图3-3 贝叶斯Tobit-AR(1)-GARCH(1)中GARCH的常数项诊断图图3-4 贝叶斯Tobit-AR(1)-GARCH(1)中GARCH的arch系数项诊断图图3-5 贝叶斯Tobit-AR(1)-GARCH(1)中GARCH的garch系数项诊断图图3-1到图3-5中，autocorrelation图显示贝叶斯估计过程中参数抽样的自相关性和有效性。Posterior density图为单一模型后验边际分布。图3-1到3-5的autocorrelation图都呈现指数型下降，表明在贝叶斯估计下MCMC是收敛的。Posterior density图给出相关参数的光滑、单一模型后验分布。而且Geweke收敛诊断等相关检验p值大于0.05，见表6。表6 Geweke诊断检验参数z统计量p值a01.91000.05610.07270.94201.30030.19350.17390.8620-0.38040.7037最后，利用后验预测分布对模型进行检验，具体方法见(Andrew Gelman, J.B.Carlin, H.S.stern, and D.B Rubin, 2004)，笔者检测了后验预测分布的四个指标，最大值(max)，最小值(min)，均值(mean)和标准差(sd) ，如图4。图4 后验预测分布图4为观测值和四个统计量的p值，红线表示观测值的四个统计量。如图所示，p值都大于0.01,可以认为预测值和观测数据相吻合，进一步验证利用贝叶斯估计Tobit-AR-GARCH模型的结果结合了先验信息且结果更加稳定、合理。讨论本文利用Tobit-AR-GARCH模型，给出贝叶斯估计参数的方法并与最大似然方法进行比较。举例说明在涨跌限制下确定相关阶数的步骤，利用真实的数据进行分析，验证利用贝叶斯方法的可行性和可靠性。涨跌停限制不仅股票市场有，国内商品、期货交易所和金融期货交易所均有上市品种的涨跌停板制度。在国外部分交易所有的上市品种也有类似制度，比如CBOT的豆类以及COMEX的精铜。现今美国次贷危机爆发引发世界性的经济危机，未来将会有更多的金融市场实施类似的限制，也意味着Tobit时间序列的数据会越来越多。该模型的研究应运而生，是必要的且具有实际意义的，其可以应用到其他具有类似tobit数据分析中。然而对于该模型还有很多问题没有得到探讨，如根据Tobit-AR-GARCH模型进行预测，向量化Tobit-AR-GARCH模型来研究多个这类时间序列的方法等。参考文献Ma, Christopher, K.R. 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