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1 (每日一练)高中数学第四章指数函数与对数函数全部重要知识点 高中数学第四章指数函数与对数函数全部重要知识点高中数学第四章指数函数与对数函数全部重要知识点 单选题 1、已知函数()=+,03+(1),0 且 1)，则“3”是“()在R上单调递增”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案：A 分析：先由()在 R 上单调递增求得a的取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义即得.若()在 R 上单调递增，则 1 1 0+1 3，所以 2，由“3”可推出“2”，但由“2”推不出“3”，所以“3”是“()在 R 上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.2、已知()是定义在R上的奇函数，当 0时，()=log2(+2)+，(6)=（）A2B2C4D4 答案：A 2 分析：因()是定义在上的奇函数，所以(0)=0，从而可求，再由奇函数的定义即可求出(6)的值.解：()是定义在上的奇函数，又当 0时，()=log2(+2)+，(0)=log2(0+2)+=0，=1，当 0时，()=log2(+2)1，(6)=(6)=log2(6+2)1=(log223 1)=2，故选：A.3、若2=3，2=4，则2+的值为（）A7B10C12D34 答案：C 分析：根据指数幂的运算性质直接进行求解即可.因为2=3，2=4，所以2+=2 2=3 4=12，故选：C 4、设=30.7,=(13)0.8,=log0.70.8，则,的大小关系为（）A B C D 1，=(13)0.8=30.8 30.7=，=log0.70.8 log0.70.7=1，所以 1 1时，函数递增；当0 1时，函数递增；当0 1时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0 或 1 等.5、已知函数()=2,(,0),(0,1)2+4 3,1,+)，若函数()=()恰有两个零点，则实数m不可能是（）A1B0C1D2 答案：D 解析：依题意画出函数图象，函数()=()的零点，转化为函数=()与函数=的交点，数形结合即可求出参数的取值范围；解：因为()=2,(,0),(0,1)2+4 3,1,+)，画出函数图象如下所示，函数()=()的有两个零点，即方程()=()=0有两个实数根，即()=，即函数=()与函数=有两个交点，由函数图象可得 0或=1，4 故选：D 小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 6、设4=3=36，则1+2=（）A3B1C1D3 答案：B 分析：先求出=log436,=log336，再利用换底公式和对数的运算法则计算求解.因为4=3=36，所以=log436,=log336，则1=log364,2=log369，5 所以则1+2=log364+log369=log3636=1.故选：B.7、基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()=e描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln20.69)（）A1.2 天 B1.8 天 C2.5 天 D3.5 天 答案：B 分析：根据题意可得()=0.38，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为1天，根据0.38(+1)=20.38，解得1即可得结果.因为0=3.28，=6，0=1+，所以=3.2816=0.38，所以()=0.38，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为1天，则0.38(+1)=20.38，所以0.381=2，所以0.381=ln2，所以1=ln20.380.690.38 1.8天.故选：B.小提示：本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.8、已知f(x)=2 2,5(+3),5，则f(4)+f(-4)=（）A63B83C86D91 答案：C 分析：由给定条件求得f(-4)=f(5)，f(4)=f(7)，进而计算f(5)、f(7)的值，相加即可得解.6 依题意，当x 0且 1)Dln3(0.125)13 答案：AD 分析：根据指对数的运算性质依次分析各选项即可得答案.解：对于 A 选项，原式=lg3lg5lg2lg3lg5lg2=1；对于 B 选项，原式=12lg2+12lg5=12lg(2 5)=12；对于 C 选项，原式=2lg=2 2=4；对于 D 选项，原式=3 813=3 2=1.故选：AD.12、已知函数()=212+1，下面说法正确的有（）A()的图象关于轴对称 8 B()的图象关于原点对称 C()的值域为(1,1)D1,2，且1 2，(1)(2)12 0，所以2+1 1，所以0 12+1 1，2 22+1 0，所以1 1 22+1 1，可得()的值域为(1,1)，故选项 C 正确；设任意的1 0，22+1 0，21 22 0，所以2(2122)(21+1)(22+1)0，即(1)(2)0，故选项 D 不正确；故选：BC 小提示：方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设1,2是该区间内的任意两个值，且1 1)，()=()()，若1 2，则（）A(1)(2)=(1+2)10 B(1)+(2)=(12)C1(1)+2(2)1(2)+2(1)D(1+22)(1)+(2)2 答案：AC 分析：对选项A、B，利用指数幂的运算性质即可判断选项A正确，选项B错误；对选项C、利用()=()()=(1)在R上单调递增即可判断，选项C正确；对选项D、举反例可判断选项D错误；解：对选项A：因为1 2=1+2，所以(1)(2)=(1+2)，故选项A正确；对选项B：因为1+2 12，所以(1)+(2)(12)，故选项B错误；对选项C：由题意，因为 1，所以()=()()=在R上单调递增，不妨设1 2，则(1)(2)，所以(1 2)(1)(1 2)(2)，即1(1)+2(2)1(2)+2(1)，故选项C正确；对选项D：取1=0,2=1,=2，则(1+22)=212 0(1)+(2)2=0+1222，故 D 错误.故选：AC.15、已知函数()=ln+ln(2 )，则（）A()在(0,2)单调递增 B()在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减 C=()的图象关于直线=1对称 D=()的图象关于点(1,0)对称 答案：BC 分析：由题可得函数的定义域，化简函数()=ln(2 )=ln(2+2)，分析函数的单调性和对称性，从11 而判断选项.函数的定义域满足 02 0 ，即0 2，即函数的定义域是|0 0，若(2 2)(1)，则实数的取值范围是_ 12 答案：352,+)分析：根据函数单调性分段处理即可得解.由题函数()=2+1,02,0 在(,0单调递增，在(0,+)为常数函数，且(0)=2 若(2 2)(1)则2 2 1 0或2 2 0 1或2 2 0 1 0 则2 3+1 0 1 或2 2 00 1 或2 2 0 1 0 解得：352 1或1 2或 2，综上所述：352,+)所以答案是：352,+)18、函数()=log12(2 5+6)的单调递减区间为_.答案：(3,+)分析：利用对数型复合函数性质求解即可.由题知：2 5+6 0，解得 3或 0)，其图像如图所示.（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入40 千万元资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.答案：（1）生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式分别为=0.25，=(0)，（2）9 千万元 分析：（1）根据待定系数法可求出函数解析式，（2）将实际问题转换成二次函数求最值的问题即可求解 解：（1）因为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设=(0)，因为当=1时，=0.25，所以=0.25，所以=0.25，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式为=0.25，对于生产芯片的，因为函数=(0)图像过点(1,1),(4,2)，所以 1=4=2，解得=1=12，所以=12，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为=(0)，（2）设投入千万元生产芯片，则投入(40 )千万元生产芯片，则公司所获利用 14 ()=0.25(40)+2=14(2)2+9，所以当=2，即=4千万元时，公司所获利润最大，最大利润为 9 千万元 20、已知函数()=1+2+1为奇函数.（1）求实数的值，并判断()在上的单调性（不必证明）；（2）若关于的不等式(2 2)+(22)0的解集非空，求实数的取值范围.答案：（1）=2，()是上的增函数；（2）(13,+).分析：（1）根据(0)=0求出=2，再由奇函数的定义验证，根据指数函数的单调性即可求解.（2）由（1）可得2 2 22的解集非空，转化为32 2 0，解不等式即可求解.（1）因为()定义在上的奇函数，可得 ，都有()=()，令=0，可得(0)=1+20+1=1+2=0，解得=2，所以()=1 22+1=212+1，此时满足()=212+1=212+1=()，所以函数()是奇函数，所以=2.()是上的增函数.（2）因为()为奇函数，且(2 2)+(22)0的解集非空，可得(2 2)(22)的解集非空，-又因为()在上单调递增，所以2 2 22的解集非空，即32 2 0，解得 13，所以实数的取值范围(13,+).