2023年人教版高中数学第八章立体几何初步知识汇总大全.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第八章立体几何初步知识汇总大全年人教版高中数学第八章立体几何初步知识汇总大全 单选题 1、如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形为截面，长方形为底面，则四边形的形状为（）A梯形 B平行四边形 C可能是梯形也可能是平行四边形 D矩形 答案：B 解析：利用面面平行的性质判断与的平行、与平行.因为平面/平面,且平面 平面=,平面 平面=,根据面面平行的性质可知/,同理可证明/.所以四边形为平行四边形.故选：B.小提示：本题考查长方体截面形状判断，考查面面平行的性质应用，较简单.2、如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，=2，=1，点P在线段EF上.给出下列命题：存在点P，使得直线/平面ACF；存在点P，使得直线 平面ACF；直线DP与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是55,1；三棱锥 的外接球被平面ACF所截得的截面面积是98.其中所有真命题的序号（）ABCD 答案：D 分析：当点P是线段EF中点时判断；假定存在点P，使得直线 平面ACF，推理导出矛盾 判断；利用线面角的定义转化列式计算判断；求出 外接圆面积判断作答.取EF中点G，连DG，令 =，连FO，如图，在正方形ABCD中，O为BD中点，而BDEF是矩形，则/且=，即四边形DGFO是平行四边形，即有/，而 平面ACF，平面ACF，于是得/平面ACF，当点P与G重合时，直线/平面ACF，正确；假定存在点P，使得直线 平面ACF，而 平面ACF，则 ，又/，从而有 ，在Rt 中，=90，DG是直角边EF上的中线，显然在线段EF上不存在点与D连线垂直于DG，因此，假设是错的，即不正确；因平面 平面，平面 平面=，则线段EF上的动点P在平面上的射影在直线BD上，于是得是直线DP与平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，当P与E不重合时，=，sin=sin=12+2=11+2，而0 2，则55 sin 1，当P与E重合时，=2，sin=1，因此，55 sin 1，正确；因平面 平面，平面 平面=，平面，则 平面，=2，在 中，=2+2=3，显然有 ，sin=2+2=23，由正弦定理得 外接圆直径2=sin=32，=322，三棱锥 的外接球被平面ACF所截得的截面是 的外接圆，其面积为2=98，正确，所以所给命题中正确命题的序号是.故选：D 小提示：名师点评两个平面互相垂直，则一个平面内任意一点在另一个平面上的射影都在这两个平面的交线上.3、下列条件中，能得出直线与平面平行的是（）A直线与平面内的所有直线平行 B直线与平面内的无数条直线平行 C直线与平面没有公共点 D直线与平面内的一条直线平行 答案：C 分析：根据线面平行的判定，线面平行的性质逐个辨析即可.对 A，直线与平面内的所有直线平行不可能，故 A 错误；对 B，当直线在平面内时，满足直线与平面内的无数条直线平行，但与不平行；对 C，能推出与平行；对 D，当直线在平面内时，与不平行.故选：C.4、已知圆锥的底面半径为，高为3，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A22B942C832D2 答案：B 分析：根据圆柱的表面积公式以及二次函数的性质即可解出 设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，所以在轴截面三角形中，如图所示：由相似可得，=33，所以，=3 3，即圆柱的全面积为 =22+2=22+2(3 3)=2(22+3)=22(34)2+982 942，当且仅当=34时取等号 故选：B 5、已知正四棱锥的底面边长为 6，侧棱长为 5，则此棱锥的侧面积为（）A6B12C24D48 答案：D 分析：首先由勾股定理求出斜高，即可求出侧面积；解：正四棱锥的底面边长为 6，侧棱长为 5，则其斜高=52(62)2=4，所以正四棱锥的侧面积=12 4 6 4=48 故选：D 6、设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A若 ，则 B若/，/，则 C若 ，/，/，则/D若/，则/答案：C 分析：利用线面垂直的判定性质、面面垂直的判定推理判断 A，B；举例说明判断 C；利用线面垂直的判定性质判断 D 作答.对于 A，因 ，当 时，而 ，则 ，当 时，在直线上取点，过作直线/，则 ，过直线,的平面 =，如图，由 得 ，于是得/，而 ，则 ，而 ，所以 ，A 正确；对于 B，若/，则 ，又/，则存在过直线的平面，使得 =，则有直线/，即有 ，所以 ，B 正确；对于 C，如图，在长方体 1111中，平面为平面，直线11为直线，平面11为平面，直线11为直线，满足 ，/，/，而 =，C 不正确；对于 D，若/，则 ，又 ，于是得/，D 正确.故选：C 7、设,是两个不同平面，,是两条直线，下列命题中正确的是（）A如果 ，/，那么 B如果 ，那么/C如果/，那么/D如果/，与所成的角和与所成的角相等，那么/答案：C 分析：A.由 ，得到/或 ，再利用平行于同一直线的两平面的位置关系判断；B.由 ，得到/或 ，再利用面面垂直的判定定理判断；C.由/，得到 ，再利用垂直于同一直线的两平面平行判断；D.利用空间直线的位置关系判断 A.因为 ，所以/或 ，又/，则,位置不确定，故错误；B.因为 ，所以/或 ，又 ，所以 ，故错误；C.因为/，所以 ，又 ，所以/，故正确；D.如果/，与所成的角和与所成的角相等，那么/，相交或异面，故错误 故选：C 8、如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（）A18B20C223D26 答案：A 分析：由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可 解：由题意得，球的半径=2，圆柱的底面半径=1，高=3，则该几何体的表面积为=22+2+2=8+4+2 1 3=18 故选：A.9、若直线 平面，直线 平面，则直线a与直线b的位置关系为（）A异面 B相交 C平行 D平行或异面 答案：C 解析：利用线面垂直的性质定理进行判断.由于垂直于同一平面的两直线平行，故当直线 平面，直线 平面时，直线与直线平行.故选：C.10、如图.是圆的直径，是圆上一点(不同于，)，且=，则二面角 的平面角为（）ABCD 答案：C 解析：由圆的性质知：，根据线面垂直的判定得到 面，即 ，结合二面角定义可确定二面角 的平面角.是圆上一点(不同于，)，是圆的直径，=，即 面，而 面，又面 面=，=，由二面角的定义：为二面角 的平面角.故选：C 11、如图，在三棱柱 111中，M，N分别为棱1，1的中点，过作一平面分别交底面三角形的边，于点E，F，则（）A/B四边形为梯形 C四边形为平行四边形 D11/答案：B 解析：由已知条件及线面平行的性质可得 且 ，可得四边形为梯形，可得答案.解：在11中，=1，=1，.又 平面，平面，平面.又 平面，平面 平面=，.显然在中，四边形为梯形.故选：B.小提示：本题主要考查直线与平面平行的性质定理，需注意其灵活运用，属于基础题型.12、在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 中，平面BCD，BCCD，且=4，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（）A32B34C33D24 答案：C 分析：画出图形，取的中点，连接，可得/，则所求为，易证 是直角三角形，则可得，进而求解.如图，取的中点，连接，由题，=4，M为AD的中点，所以/，=2，则为所求，由 平面BCD，则 ，又 ，=，所以 平面，则 平面，所以 是直角三角形，即=90，又=12=122+2=23，所以cos=223=33，故选：C 双空题 13、球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用如图，A，B，C是球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为，由这三条劣弧组成的图形称为球面 已知地球半径为R，北极为点N，P，Q是地球表面上的两点若P，Q在赤道上，且经度分别为东经 40和东经 80，则球面 的面积为_；若=263，则球面 的面积为_ 答案：229 2 分析：利用所在的经度求出球面三角形面积，再利用已知可得三角形为等边三角形，进而可以求解 解：在赤道上，且经度分别为40和80，上半球面面积为12 4 2=22，球面 面积为40360 22=229，当=263时，为等边三角形，根据题意构造一个正四面体 ，如图所示：其中心为，是高的靠近的四等分点，则cos=cos=13，由余弦定理可得：cos=2+222=22222=13，解得=263，正好为题目所给的长度，所以球面的面积为=14 42=2，所以答案是：229；2 14、已知圆锥的顶点为，底面圆心为，底面半径为3，高为 1，和是底面圆周上两点，则圆锥的侧面展开图的圆心角为_；面积的最大值为_.答案：3 2 解析：圆锥的侧面展开图为扇形，其圆心角为扇形弧长与扇形半径之比，即为圆锥底面周长与母线之比；=12|sin，根据圆锥的轴截面确定的范围，进而确定面积的最大值.设侧面展开图的圆心角为，则=232=3；如图，和都是圆锥的母线，则=2，设圆锥经过，的截面为，在直角三角形中，=60，可得 的顶角为 120，所以 面积的最大值为12 sin90=2.所以答案是：3，2 15、天津滨海文化中心地天津滨海新区开发区，是天津乃至京津冀地区的标志性文化工程.其中滨海图书馆建筑独具特色，被称为“滨海之眼”，如图所示，中心球状建筑引起了小明的注意，为了测量球的半径，小明设计了两个方案，方案甲，构造正三棱柱侧面均与球相切如图所示，底面边长约为 30 米，估计此时球的完整表面积为 _平方米；方案乙，测量球被地面截得的圆的周长约为16米，地面到球顶部高度约为 16 米，估计此时球的完整体积为_立方米，你认为哪种方案好呢？答案：300 40003 分析：分别对两种方案分析，根据截面求出球的半径，即可求解.方案甲:过球心作与正三棱柱底面平行的截面，如图,则=12=15,=6,所以tan=tan6=33,即=33 15=53,所以=42=300(m2)方案乙，由周长可得截面圆半径=162=8(m)，过球心作重直于地面的截面，如图，由直角三角形可得(16 )2+2=2,=8代入可解得：=10(m)，=433=40003(m3)，方案乙好.由于球太大,方案甲不太好实施.所以答案是：300；40003 小提示：关键点点睛：根据实际问题抽象出数学问题，在研究球的问题中，作出适当的截面圆，利用球的截面性质，是解决问题的关键所在，属于中档题.16、九章算术是中国古代的数学专著，收有 246 个与生产、生活有联系的应用问题早在隋唐时期便已在其他国家传播书中提到了“阳马”它是中国古代建筑里的一种构件，抽象成几何体就是一底面为矩形，其中一条侧棱与底面垂直的直角四棱锥问：在一个阳马中，任取其中 3 个顶点，能构成_个锐角三角形，一个长方体最少可以分割为_个阳马 答案：1 3 分析：根据阳马的结构特征，排除掉所有的直角三角形，即可找到锐角三角形，结合长方体的性质及阳马的特征，可得最少分割阳马的个数.如下图示，面，又底面为矩形，易知 面，面，仅有 是锐角三角形，如下图示，一个长方体最少可以分割为 3 个阳马：、所以答案是：1,3 17、在长方体 1111中，=5,=4,1=3，则这个长方体的体对角线长为_，其外接球的表面积是_ 答案：52 50 解析：由三条棱的平方和等于对角线的平方可得对角线长，对角线就是外接球的直径，由此可得球表面积 设对角线长为，则2=2+2+12=52+42+32=50，=52，外接球半径为=2=522，表面积为=42=4 (522)2=50 所以答案是：52；50 解答题 18、如图，四边形11是圆柱的轴截面，1是圆柱的一条母线，已知=4，=22，1=3，求该圆柱的侧面积与表面积 答案：侧面积为66，表面积为66+12 分析：圆柱的侧面积=2，圆柱的表面积=2+22.易知：，因为=4，=22，所以=2+2=26，即=6，因为1=3，所以圆柱的侧面积=2=2 6 3=66，圆柱的表面积表=2+22=66+12 19、如图所示，斜三棱柱 111中，点1为11上的中点 （1）求证：1/平面11；（2）设三棱锥 111的体积为1，三棱柱 111的体积为2，求12 答案：（1）证明见解析；（2）16 分析：（1）连接A1B交AB1于点O，连接OD1，可得OD1BC1，由线面平行的判定定理即可证明BC1 平面AB1D1；（2）由V1111121111611116V2，即可求得结论（1）证明：连接A1B交AB1于点O，连接OD1.则在平形四边形ABB1A1中，点O为A1B的中点，又点D1为A1C1的中点，所以OD1BC1，又OD1 平面AB1D1，B1C 平面AB1D1，所以BC1 平面AB1D1（2）V1111121111611116V2 所以1216 20、如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动 (1)证明：D1EA1D；(2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离 答案：(1)证明见解析；(2)13.分析：（1）证明 1、1 1，由线面垂直的判定定理可证明1 平面1，即证；（2）由勾股定理求出ACD1各个边长，设点到平面1的距离为，由1=1即可求解.（1）因为 平面11，1 平面11，所以 1，因为四边形11是矩形，=1，所以四边形11是正方形，所以1 1，又1平面1，平面1，1 =，所以1 平面1，又因为1 平面1，所以1 1.（2）因为=1=1，=2，为的中点，所以1=2，=1=5，=2，=1，所以1=12 2 5 (22)2=32，=12 1 1=12，设点到平面1的距离为，由1=1可得：13 1 =13 1，即1332=1312 1，解得：=13，所以点E到面ACD1的距离为13.