2023年人教版高中数学选修一常考点.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学选修一常考点年人教版高中数学选修一常考点 单选题 1、平面的一个法向量是 =(12,1,13)，平面的一个法向量是 =(3,6,2)，则平面与平面的关系是（）A平行 B重合 C平行或重合 D垂直 答案：C 分析：由题设知 =6 ，根据空间向量共线定理，即可判断平面与平面的位置关系.平面的一个法向量是 =(12,1,13)，平面的一个法向量是 =(3,6,2)，=6 ，平面与平面的关系是平行或重合 故选：C 2、已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（）A16B23C2121D42121 答案：B 分析：利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.设该正面体的棱长为1，因为M为BC中点，N为AD中点，所以|=|=12(12 1)2=32，因为M为BC中点，N为AD中点，所以有=+=+12，=+=+12=+12()=+12+12,=(+12)(+12+12)=12 212 12 2+14 +14 =1 1 1212 1212 1 1 1212 12+14 1 1 12+14 1 1 12=12,cos,=|=123232=23，根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为23，故选：B 3、已知空间向量 ，满足 +=0，|=1，|=2，|=7，则 与 的夹角为（）A30B45C60D90 答案：C 分析：将 +=，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.设 与 的夹角为由 +=0，得 +=，两边平方，得 2+2 +2=2，所以1+2 1 2cos+4=7，解得cos=12，又 0，所以=60，故选：C 4、若点(1,1)在圆:2+2+=0的外部，则实数的取值范围是（）A(2,+)B2,12)C(2,12)D(2,2)答案：C 分析：由于点(1,1)在圆:2+2+=0的外部，所以1+1+1 1+01+1 4 0，从而可求出的取值范围 解：由题意得1+1+1 1+01+1 4 0，解得2 0)与圆2:2+2 4+3=0相外切，则的值为（）A12B23C1D32 答案：D 分析：确定出两圆的圆心和半径，然后由两圆的位置关系建立方程求解即可.由2+2 2=0(0)可得2+()2=2，所以圆1的圆心为(0,)，半径为，由2+2 4+3=0可得(2)2+2=1，所以圆2的圆心为(2,0)，半径为1，因为两圆相外切，所以4+2=+1，解得=32，故选：D 7、已知从点(5,3)发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：(1)2+(1)2=5的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A2 3+1=0B2 3 1=0 C3 2+1=0D3 2 1=0 答案：A 分析：根据反射性质，结合圆的性质、直线斜率公式进行求解即可.设点的坐标为(5,3)，圆(1)2+(1)2=5的圆心坐标为(1,1)，设(,0)是x轴上一点，因为反射光线恰好平分圆(1)2+(1)2=5的圆周，所以反射光线经过点(1,1)，由反射的性质可知：+=0 305+101=0 =12，于是=101(12)=23，所以反射光线所在的直线方程为：=23(+12)2 3+1=0，故选：A 8、已知双曲线2222=1(0,0)的右焦点与抛物线2=2(0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若|=2|则双曲线的离心率为（）A2B3C2D3 答案：A 分析：设公共焦点为(,0)，进而可得准线为=，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2=122，再由双曲线离心率公式即可得解.设双曲线2222=1(0,0)与抛物线2=2(0)的公共焦点为(,0)，则抛物线2=2(0)的准线为=，令=，则2222=1，解得=2，所以|=22,又因为双曲线的渐近线方程为=，所以|=2，所以2=222，即=2，所以2=2 2=122，所以双曲线的离心率=2.故选：A.9、已知圆(1)2+2=4内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（）A 1=0B+3=0 C+3=0D=2 答案：B 分析：设圆心，由圆的对称性可知过点与垂直的直线被圆所截的弦长最短 由题意可知，当过圆心且过点(2,1)时所得弦为直径，当与这条直径垂直时所得弦长最短，圆心为(1,0)，(2,1)，则由两点间斜率公式可得=1021=1，所以与垂直的直线斜率为=1，则由点斜式可得过点(2,1)的直线方程为 1=1 (2)，化简可得+3=0，故选：B 10、点(1,2)关于直线+2=0的对称点是（）A(1,0)B(0,1)C(0,1)D(2,1)答案：B 分析：设出对称点，根据对称 关系列出式子即可求解.解：设点(1,2)关于直线+2=0的对称点是(,)，则有21=1+12+22 2=0，解得=0，=1，故点(1,2)关于直线+2=0的对称点是(0,1).故选：B.小提示：方法点睛：关于轴对称问题：（1）点(,)关于直线+=0的对称点(,)，则有()=1+2+2+=0；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.11、已知直线斜率为k，且1 3，那么倾斜角的取值范围是（）A0,3 2,34)B0,3 34,)C0,6 2,34)D0,6 34,)答案：B 分析：根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角的取值范围.解：直线l的斜率为k，且1 3，1 tan 3，0,).0,3 34,).故选：B.12、圆(1)2+2=3的圆心坐标和半径分别是（）A(-1，0)，3B(1，0)，3 C(1,0),3D(1,0),3 答案：D 分析：根据圆的标准方程，直接进行判断即可.根据圆的标准方程可得，(1)2+2=3的圆心坐标为(1,0)，半径为3，故选：D.双空题 13、直线+(2+1)+2=0()过定点_，倾斜角的最小值是_.答案：(1,1)；135#34.分析：根据直线含参数且恒过定点，让参数前面的系数为零即可，先求出斜率的取值范围，进而可求出直线的倾斜角的最小值.直线+(2+1)+2=0()可以化为2(+1)+=0恒定点，则+1=0+=0 (1,1).直线可化为=12+1 22+1.2 0 2+1 1 0 12+1 1 1 12+1 0)，焦点1(,0)，2(,0)(0)，若过1的直线和圆(12)2+2=2相切，与椭圆在第一象限交于点P，且2 轴，则该直线的斜率是_，椭圆的离心率是_.答案：255 55 分析：不妨假设=2，根据图形可知，sin12=23，再根据同角三角函数基本关系即可求出=tan12=255；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率 如图所示：不妨假设=2，设切点为，sin12=sin1=|1|=23，tan12=23222=255 所以=255,由=|2|12|,|12|=2=4，所以|2|=855，|1|=|2|1sin12=1255，于是2=|1|+|2|=45，即=25，所以=225=55 所以答案是：255；55 15、已知实数x，y满足方程x2y24x10，x2y2的最大值和最小值分别为_和_.答案：743 743 解析：x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为 2，所以x2y2的最大值是(23)2743，x2y2的最小值是(23)2743.所以答案是：743 ；743 16、已知抛物线2=2(0)的焦点为F，准线为l，点(4,0)在抛物线上，K为l与y轴的交点，且=2，则0=_，=_ 答案：2 4 分析：作 ，垂足为M，则由抛物线的定义结合已知条件可得=45，则|=|=4，再结合抛物线的定义和点(4,0)在抛物线上列方程组可求出结果.作 ，垂足为M，由抛物线定义知|=|，又知|=2|，所以在Rt 中，sin=|=|=22，所以=45，所以 为等腰直角三角形，所以|=|=4，又点P在抛物线2=2(0)上，所以0=80+2=4，解得=40=2 所以答案是：2，4 小提示：17、希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点,的距离之比为定值(1)的点的轨迹是圆”后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系中，(2,1)，(2,4)，点是满足=12的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为_；若点为抛物线:2=4上的动点，在轴上的射影为，则|+|+|的最小值为_ 答案：(+2)2+2=4 10 1#1+10 分析：设点坐标，根据题意写出关于与的关系式化简即可；利用抛物线的定义可知|=|1，进而可得(|+|+|)min=|1，即得.设点(,)，=12，=12(+2)2+(1)2(+2)2+(4)2=12 (+2)2+2=4.抛物线的焦点为点，由题意知(1,0)，|=|1，(|+|+|)min=(|+|+|1)min=|1=(2 1)2+12 1=10 1.所以答案是：(+2)2+2=4；10 1.解答题 18、过点(1,2)作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A，B.(1)若 是等腰直角三角形，求直线l的方程；(2)对于|+|最小，面积最小，若选择_作为条件，求直线l的方程.答案：(1)+3=0(2)选：2+2 2=0；选：2+4=0.分析：（1）由题意，求出直线l的倾斜角为34，进而可得直线l的斜率，最后利用点斜式即可写出直线l的方程；（2）设(,0)，(0,)(,0)，直线的方程为+=1，把点(1,2)代入可得1+2=1，若选：|+|=+=(+)(1+2)=3+2+3+22，由基本不等式等号成立的条件，即可求得直线l的方程；若选：1+2=1 22，由基本不等式等号成立的条件，即可求得直线l的方程（1）解：因为过点(1,2)作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A、B，且 是等腰直角三角形，所以直线l的倾斜角为34，所以直线l的斜率为=tan34=1，所以直线l的方程为 2=(1)，即+3=0；（2）解：设(,0)，(0,)(,0)，直线l的方程为+=1，代入点(1,2)可得1+2=1，若选：|+|=+=(+)(1+2)=3+2+3+22=3+22，当且仅当=2+1,=2+2时等号成立，此时直线l的斜率=2，所以直线l的方程为 2=2(1)，即2+2 2=0；若选：由1+2=1 22，可得 8，当且仅当=2,=4时等号成立，所以=12 4，即 面积最小为 4，此时直线l的斜率=2，所以直线l的方程为 2=2(1)，即2+4=0.19、已知圆的圆心为(0,1)，且圆与直线2 +6=0相切 （1）求圆的方程；（2）圆与轴交于,两点，若一条动直线:=0交圆于,两点，记圆心到直线的距离为（i）当0=1时，求|的值（ii）当2 0 2时，试问|是否为定值，并说明理由 答案：（1）2+(1)2=5；（2）（）12；（）为定值12，理由见详解.分析：（1）求出圆心到切线的距离（即半径），则可求得圆的方程；（2）（i）联立直线=1与圆的方程，得点、的坐标，写出直线的方程，求出圆心到直线的距离，再求出|，进而可得|=12；（ii）联立直线=0与圆的方程，得点、的坐标，写出直线的方程，求出圆心到直线的距离，再求出|，进而可得(|)2=14，即|=12.（1）依题意得圆的半径=|1+6|22+(1)2=5，又圆心为(0,1)，所以，圆的方程为2+(1)2=5；（2）由2+(1)2=5，令=0得=2，所以(2,0),(2,0).（i）联立2+(1)2=5=1 得=1=3 或=1=1，所以(1,3),(1,1).则直线的方程为030=(2)1(2)，即 +2=0.圆心到直线的距离=|1+2|2=22，|=(2 1)2+(0+1)2=2，|=222=12.（ii）因为2 0 2，所以 联立2+(1)2=5=0 得(0,1+5 02),(0,1 5 02).则直线的方程为=1+5020+2(+2)，即(1+5 02)(0+2)+2(1+5 02)=0.圆心到直线的距离 =|(0+2)+2(1+502)|(1+502)2+(0+2)2=|25020|10+40+2502，|=(0 2)2+(1 5 02)2=10 40 25 02，所以，(|)2=|25 02 0|210+(40+25 02)10 (40+25 02)=20 302 405 02102(40+25 02)2=20 302 405 0280 1202 1605 02=14,|=12，故|为定值12.小提示：关键点点睛：本题第（2）（ii）问主要考查直线与圆的位置关系，运算量大，因此关键要细心准确.20、已知圆1：2+2=10与圆2：2+2+2+2 14=0(1)求证：圆1与圆2相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程；(3)求经过两圆交点，且圆心在直线+6=0上的圆的方程 答案：(1)证明见解析(2)+2=0(3)2+2 6 6+2=0 分析：（1）将两圆方程化成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心距，即可证明；（2）将两圆方程作差，即可求出公共弦方程；（3）首先求出两圆的交点坐标，设圆心为(6 ,)，根据|=|得到方程，即可求出，从而求出圆心坐标与半径，从而得到圆的方程.（1）证明：圆2：2+2+2+2 14=0化为标准方程为(+1)2+(+1)2=16，2(1,1)，=4 圆1:2+2=10的圆心坐标为1(0,0)，半径为=10，|12|=2，4 10 2 4+10，两圆相交；（2）解：由圆1:2+2=10与圆2:2+2+2+2 14=0，将两圆方程相减，可得2+2 4=0，即两圆公共弦所在直线的方程为+2=0；（3）解：由2+2+2+2 14=02+2=10，解得=3=1 或=1=3，则交点为(3,1)，(1,3)，圆心在直线+6=0上，设圆心为(6 ,)，则|=|，即(6 3)2+(+1)2=(6 +1)2+(3)2，解得=3，故圆心(3,3)，半径=|=4，所求圆的方程为(3)2+(3)2=16