离散型随机变量的数学期望.ppt
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1、离散型随机变量的数学期望2023/5/241复习引入2023/5/2421.独立重复试验定义:独立重复试验定义:一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验1、每次试验是在同样条件下进行;2、每次试验都只有两种结果:发生与不发生;3、各次试验中的事件是相互独立的;4、每次试验,某事件发生的概率是相同的。注:注:独立重复试验的基本特征:独立重复试验的基本特征:1.基本概念基本概念2023/5/243基本概念基本概念2、二项分布:、二项分布:一般地,在一般地,在n次独立重复试验中,设事件中,设事件A发生的发生的次数为次数为X,在每次试验中事件,在每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为
2、p,那么,那么在在n次独立重复试验中,事件次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为的概率为此时称随机变量此时称随机变量X服从服从二项分布二项分布,记作,记作XB(n,p),并并称称p为成功概率。为成功概率。2023/5/24451.概率分布列一般地,假定随机变量X有n个不同的取值,它们分别是x1,x2,xn且P(X=xi)=pi,(i=1,2,n)则称为随机变量X 的分布列,简称为X的分布列.Xx1x2xnPP1,p2pn此表叫X概率分布列,表格表示2023/5/2451、某人射击、某人射击10次次,所得环数分别是所得环数分别是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4;则所得的平均环数是多
3、少?;则所得的平均环数是多少?把环数看成随机变量的概率分布列:把环数看成随机变量的概率分布列:X1234P互动探索2023/5/246一、离散型随机变量取值的均值一般地,若离散型随机变量X的概率分布为:则称为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的它反映了离散型随机变量取值的平均水平平均水平。2023/5/247试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?例例1 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手甲射手甲射手2023/5/248解解故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好.2023/5/2493(2011福建福州质检)已知某一随机变量的概率分布列如下,且E6.3,则a的值
4、为()A.5 B6C7 D8解析:由分布列性质知:0.50.1b1,b0.4E40.5a0.190.46.3a7.故选C.答案:C4a9P0.50.1b2023/5/2410类型一求离散型随机变量的期望解题准备:求离散型随机变量的期望,一般分两个步骤:列出离散型随机变量的分布列;利用公式Ex1p1x2p2xipi,求出期望值【典例1】(2011福州市高中毕业班综合测试卷)口袋里装有大小相同的卡片八张,其中三张标有数字1,三张标有数字2,两张标有数字3,第一次从口袋里任意抽取一张,放回口袋后第二次再任意抽取一张,记第一次与第二次取到卡片上数字之和为.(1)为何值时,其发生的概率最大?说明理由(2
5、)求随机变量的期望E.2023/5/24112023/5/2412点评本题主要考查某事件发生概率的求法,以及离散型随机变量分布列的数学期望的求法问题(1),对的取值做到不重不漏,这是学生容易出错的地方利用好计数原理和排列、组合数公式,求事件发生的概率,问题(2)比较容易,用好离散型随机变量分布列的数学期望公式即可2023/5/2413(广东卷17)随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元设1件产品的利润(单位:万元)为X(1)求X的分布列;(2)求1件
6、产品的平均利润(即X的数学期望);(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?高考链接:2023/5/2414【解析】(1)X的所有可能取值有6,2,1,-2;,,故的分布列为:0.020.10.250.63P-2126X(2)(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为依题意,即 ,解得 所以三等品率最多为3%2023/5/2415设YaXb,其中a,b为常数,则Y也是随机变量(1)Y的分布列是什么?(2)E(Y)=?思考:2023/5/2416YaXb2023/5/24
7、17一、离散型随机变量取值的均值二、随机变量数学期望的性质(线性性质)2023/5/2418即时训练:1、随机变量X的分布列是X135P0.50.30.2(1)则E(X)=.2、随机变量的分布列是2.4(2)若Y=2X+1,则E(Y)=.5.847910P0.3ab0.2E()=7.5,则a=b=.0.40.12023/5/2419例例1 1:已知随机变量已知随机变量X X的分布列如下:的分布列如下:2023/5/2420例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7,则他罚球1次的得分X的均值是多少?一般地,如果随机变量X服从两点分布,X10Pp1
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