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空间向量与立体几何典型例题
一、选择题：
1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ C ）
A． B． C． D．
1.解：C．由题意知三棱锥为正四面体，设棱长为，则，棱柱的高（即点到底面的距离），故与底面所成角的正弦值为.
另解：设为空间向量的一组基底，的两两间的夹角为
长度均为，平面的法向量为,

则与底面所成角的正弦值为.

二、填空题：
1．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于 ．

1题图（1）
1.答案：.设，作
，则，为二面角的平面角
，结合等边三角形
与正方形可知此四棱锥为正四棱锥，则
,

1题图（2）

故所成角的余弦值
另解：以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，
则点,
,
则,
故所成角的余弦值.

三、解答题：
1．（2008安徽文）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的 菱形，, , ,为的中点。
（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。

1．方法一（综合法）
（1）
为异面直线与所成的角（或其补角）
作连接

，

所以 与所成角的大小为
（２）点A和点B到平面OCD的距离相等，
连接OP,过点A作 于点Q，

又 ,
线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离
，
，所以点B到平面OCD的距离为

方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系
,

(1)设与所成的角为,

,
与所成角的大小为
(2)
设平面OCD的法向量为,则
即
取,解得
设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,
, .
所以点B到平面OCD的距离为

2．（2008安徽理）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点。
（Ⅰ）证明：直线；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。

2． 方法一（综合法）
（1）取OB中点E，连接ME，NE

又

（2）
为异面直线与所成的角（或其补角）
作连接

，

所以 与所成角的大小为
（3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作
于点Q，
又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离
，
，所以点B到平面OCD的距离为
方法二(向量法)
作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系
,
(1)
设平面OCD的法向量为,则
即
取,解得

(2)设与所成的角为,
, 与所成角的大小为
(3)设点B到平面OCD的交流为,则为在向量上的投影的绝对值,
由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为

3．（2008北京文）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.

（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小.

3．解法一：（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD.
∵AP=BP，
∴PD⊥AB.
∵AC=BC.
∴CD⊥AB.
∵PD∩CD＝D.
∴AB⊥平面PCD.
∵PC平面PCD，
∴PC⊥AB.
（Ⅱ）∵AC=BC,AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC.
又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，
且AC∩PC=C，
∴AB＝BP，
∴BE⊥AP.
∵EC是BE在平面PAC内的射影，
∴CE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
在△BCE中，∠BCE=90°,BC=2,BE=，
∴sin∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为aresin
解法二：
（Ⅰ）∵AC=BC,AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC.
∴PC⊥BC.
∵AC∩BC=C,
∴PC⊥平面ABC.
∵AB平面ABC，
∴PC⊥AB.

(Ⅱ)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.
则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.
设P（0，0，t）,
∵｜PB｜=｜AB｜＝2，
∴t=2,P(0,0,2).
取AP中点E，连结BE，CE.
∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,
∴CE⊥AP,BE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
∵E(0,1,1),
∴cos∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为arccos

A
C
B
D
P
4．（2008北京理）如图，在三棱锥中，，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离．

4．解法一：
（Ⅰ）取中点，连结．
，
．
，
．
，
平面．
平面，
．
A
C
B
E
P
（Ⅱ），，
．
又，
．
又，即，且，
平面．
取中点．连结．
，．
是在平面内的射影，
．
是二面角的平面角．
在中，，，，
．
A
C
B
D
P
H
二面角的大小为．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，
平面平面．
过作，垂足为．
平面平面，
平面．
的长即为点到平面的距离．
由（Ⅰ）知，又，且，
平面．
平面，
．
在中，，，
． ．
点到平面的距离为．
解法二：
（Ⅰ），，
．
又，
．
，
平面．
平面，
．
（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．
A
C
B
P
z
x
y
H
E
则．
设．
，
，．
取中点，连结．
，，
，．
是二面角的平面角．
，，，
．
二面角的大小为．
（Ⅲ），
在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．
如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．
，
点的坐标为． ．
点到平面的距离为．

5． (2008福建文) 如图，在四棱锥中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥CD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。（1）求证：PO⊥平面ABCD;
（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）求点A到平面PCD的距离

5.解：如图，A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)
所以

所以异面直线所成的角的余弦值为：
(2)设平面PCD的法向量为，
，所以 ；
令x=1,则y=z=1,所以 又
则，点A到平面PCD的距离为：

6．(2008福建理) 如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.

（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出　的值；若不存在，请说明理由.

6．本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.

　　　解法一：
　　（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,
又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC,
有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC.
由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.
因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,
所以OB＝，
在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，
在Rt△PBO中，tan∠PBO＝
所以异面直线PB与CD所成的角是.
（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为.
　　　设QD＝x，则，由（Ⅱ）得CD=OB=，
　　　在Rt△POC中，
所以PC=CD=DP,

由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时.
解法二：
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),
P(0,0,1),
所以
所以异面直线PB与CD所成的角是arccos，
(Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，
由(Ⅱ)知
设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).
则所以即，
取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).
设由，得解y=-或y=(舍去)，
此时，所以存在点Q满足题意，此时.

7、(2008海南、宁夏理)如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，∠PDA=60°。
（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。

7．解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．
则，．
连结，．
在平面中，延长交于．
设，
由已知，
由
可得．
A
B
C
D
P

x
y
z
H
解得，所以．
（Ⅰ）因为，
所以．
即与所成的角为．
（Ⅱ）平面的一个法向量是．
因为，
所以．
可得与平面所成的角为．

8. (2008湖北文)如图，在直三棱柱中，平面侧面
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若，直线AC与平面所成的角为，
二面角

8.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考查空间想象能力和推理论证能力.（满分12分）
(Ⅰ)证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则
由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B，
得AD⊥平面
A1BC.又BC平面A1BC
所以AD⊥BC.
因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱,
则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC.
又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,
又AB侧面A1ABB1，
故AB⊥BC.
(Ⅱ)证法1：连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1就是二面角A1－BC－A的颊角，即∠ACD＝θ，∠ABA1=j.
于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA1中，sin∠AA1D＝,
∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角，所以θ＝∠AA1D.
又由RtΔA1AB知，∠AA1D＋j＝∠AA1B＋j＝，故θ＋j＝.
证法2：由(Ⅰ)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB=c（c＜a＝，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(),
A1(0,c,a)，于是，＝（0，c,a）,
,=(0,c,a)
设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z),
则由
可取n＝（0，－a，c），于是
n·=ac＞0，与n的夹角b为锐角,则b与q互为余角.
sinq=cosb=,
cosj=
所以sinq=cosj=sin(),又0＜q，j＜，所以q+j=.

9. (2008湖北理)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥侧面A1ABB1.
（Ⅰ）求证：AB⊥BC；
（Ⅱ）若直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的大小为φ的大小关系，并予以证明.

9.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分12分）
（Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作
AD⊥A1B于D，则
由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得
AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC，
所以AD⊥BC.
因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，
则AA1⊥底面ABC，
所以AA1⊥BC.
又AA1AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1，
又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC.
（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知是直线AC与平面A1BC所成的角，
是二面角A1—BC—A的平面角，即
于是在Rt△ADC中，在Rt△ADB中，
由AB＜AC，得又所以
解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分
别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=a,AC=b,
AB=c,则 B(0,0,0), A(0,c,0), 于是

设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z)，则
由得
可取n=(0,-a,c)，于是与n的夹角为锐角，则与互为余角.

所以
于是由c＜b，得
即又所以

10. (2008湖南理)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，
E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.

10．解: 解法一
（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，
△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD,又AB∥CD,
所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以
PA⊥BE.而AB=A,因此BE⊥平面PAB.
又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.

（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF.
过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知
平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.
在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，
所以，AF=2AB=2=AP.
在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG.
则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，
PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.
在等腰Rt△PAF中，
在Rt△PAB中，
所以，在Rt△AHG中，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是

解法二: 如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关
各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），
P（0，0，2）,
（Ⅰ）因为，
平面PAB的一个法向量是，
所以共线.从而BE⊥平面PAB.
又因为平面PBE，
故平面PBE⊥平面PAB.

(Ⅱ)易知
设是平面PBE的一个法向量，则由得
所以
设是平面PAD的一个法向量，则由得
所以故可取
于是，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是

11．(2008湖南文) 如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，
E是CD的中点，PA底面ABCD，。
（I）证明：平面PBE平面PAB；
（II）求二面角A—BE—P和的大小。

11．解：解法一
（I）如图所示, 连结由是菱形且知，
是等边三角形. 因为E是CD的中点，
所以又所以
又因为PA平面ABCD，平面ABCD，
所以而因此 平面PAB.
又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.
（II）由（I）知，平面PAB, 平面PAB,
所以
又所以是二面角的平面角．
在中,
．
故二面角的大小为
解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是

（I）因为平面PAB的一个法向量是所以和共线.
从而平面PAB. 又因为平面PBE，所以平面PBE平面PAB.
（II）易知设是平面PBE的一个法向量,
则由得
所以
故可取而平面ABE的
一个法向量是
于是,．
故二面角的大小为

12．(2008江苏)记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．
12．解：由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则有,,,
由，得，所以

显然不是平角，所以为钝角等价于
，
则等价于
即 ，得
因此，的取值范围是

13．(2008江西文、理) 如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为2．、分别是、的中点，是的中点，过的平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、，已知．
（1）求证：⊥面；
（2）求二面角的大小．

13．解 ：（1）证明：依题设，是的中位线，
所以∥，
则∥平面，所以∥。
又是的中点，所以⊥，
则⊥。
因为⊥，⊥，
所以⊥面，则⊥，
因此⊥面。
（2）作⊥于，连。
因为⊥平面，
根据三垂线定理知，⊥，
就是二面角的平面角。
作⊥于，则∥，则是的中点，则。
设，由得，，解得，
在中，，则，。
所以，故二面角为。

解法二：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则

所以
所以
所以平面
由∥得∥，故：平面

(2)由已知设
则
由与共线得:存在有得

同理:

设是平面的一个法向量,
则 令得
又是平面的一个法量

所以二面角的大小为

A
B
C
D
E
F
P
Q
H

G
14．(2008辽宁文)如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF∥，截面PQGH∥．
（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；
（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，
并求出这个值；
（Ⅲ）若，求与平面PQEF所成角的正弦值．

14．本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力．满分12分．
解法一：
（Ⅰ）证明：在正方体中，，，
又由已知可得
，，，
所以，，
所以平面．
所以平面和平面互相垂直． 4分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是
，是定值． 8分
A
B
C
D
E
F
P
Q
H

G
N
（Ⅲ）解：设交于点，连结，
因为平面，
所以为与平面所成的角．
因为，所以分别为，，，的中点．
可知，．
所以． 12分
解法二：
以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xyz．由已知得，故
A
B
C
D
E
F
P
Q
H

y
x
z
G
，，，，
，，，
，，．
（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得
，
，
．
因为，所以是平面PQEF的法向量．
因为，所以是平面PQGH的法向量．
因为，所以，
所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直． 4分
（Ⅱ）证明：因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．
在所建立的坐标系中可求得，，
所以，又，
所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值． 8分
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知是平面的法向量．
由为中点可知，分别为，，的中点．
所以，，因此与平面所成角的正弦值等于
． 12分

A
B
C
D
E
F
P
Q
H

G
15．(2008辽宁理)如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF∥，截面PQGH∥．
（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；
（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；
（Ⅲ）若与平面PQEF所成的角为，求与平
面PQGH所成角的正弦值．

A
B
C
D
E
F
P
Q
H

G
N
M
15．本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，
考查空间想象能力与逻辑思维能力。满分12分．
解法一：
（Ⅰ）证明：在正方体中，，，又由已知可得
，，，
所以，，
所以平面．
所以平面和平面互相垂直． 4分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是
，是定值． 8分
（III）解：连结BC′交EQ于点M．
因为，，
所以平面和平面PQGH互相平行，因此与平面PQGH所成角与与平面所成角相等．
与（Ⅰ）同理可证EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面，因此EM与的比值就是所求的正弦值．
设交PF于点N，连结EN，由知
．
因为⊥平面PQEF，又已知与平面PQEF成角，
所以，即，
解得，可知E为BC中点．
所以EM=，又，
故与平面PQCH所成角的正弦值为． 12分
解法二：
以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xyz由已知得，故
，，，，
，，，
A
B
C
D
E
F
P
Q
H

y
x
z
G
，，．
（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得
，
，
．
因为，所以是平面PQEF的法向量．
因为，所以是平面PQGH的法向量．
因为，所以，
所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直． 4分
（Ⅱ）证明：因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．
在所建立的坐标系中可求得，，
所以，又，
所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值． 8分
（Ⅲ）解：由已知得与成角，又可得
，
即，解得．
所以，又，所以与平面PQGH所成角的正弦值为
． 12分

A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
16．(2008全国Ⅱ卷文、理) 如图，正四棱柱中，，点在上且．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．

16．解法一：
依题设，，．
（Ⅰ）连结交于点，则．
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
F
H
G
由三垂线定理知，． 3分
在平面内，连结交于点，
由于，
故，，
与互余．
于是．
与平面内两条相交直线都垂直，
所以平面． 6分
（Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，
故是二面角的平面角． 8分
，
，．
，．
又，．
．
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
y
x
z
所以二面角的大小为．-----------12分
解法二：
以为坐标原点，射线为轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系．
依题设，．

，．----3分
（Ⅰ）因为，，
故，．
又，
所以平面． 6分
（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则
，．
故，．
令，则，，． 9分
等于二面角的平面角，
．
所以二面角的大小为． 12分

17．(2008全国Ⅰ卷文)（四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设侧面为等边三角形，求二面角的大小．

17．解：（1）取中点，连接交于点，
，
，
又面面，
面，
．
，
，
，即，
面，
．
（2）在面内过点做的垂线，垂足为．
，，
面，
，
则即为所求二面角．
，，
，
，
则，
．

18．(2008全国Ⅰ卷理) 四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小．

18．解：（1）取中点，连接交于点，
，，
又面面，面，

18题图
．
，
，，即，
面，．
（2）在面内过点作的垂线，垂足为．
，，面，，
则即为所求二面角的平面角．
，，，
，则，
，即二面角的大小．

19． (2008山东理)如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.
（Ⅰ）证明：AE⊥PD;
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的
正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值。
19．（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.
因为 E为BC的中点，所以AE⊥BC.
又 BC∥AD，因此AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.
而 PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，
所以 AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.
所以 AE⊥PD.

（Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.
由（Ⅰ）知 AE⊥平面PAD，
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.
在Rt△EAH中，AE=，
所以 当AH最短时，∠EHA最大，
即 当AH⊥PD时，∠EHA最大.
此时 tan∠EHA=
因此 AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，
所以 PA=2.
解法一：因为 PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，
所以 平面PAC⊥平面ABCD.
过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，
过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，
在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=,
又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=,
又
在Rt△ESO中，cos∠ESO=
即所求二面角的余弦值为
解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以
E、F分别为BC、PC的中点，所以

A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），
所以
设平面AEF的一法向量为
则
因此
取
因为 BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，
所以 BD⊥平面AFC，
故 为平面AFC的一法向量.
又 =（-），
所以 cos＜m, ＞=
因为 二面角E-AF-C为锐角，
所以所求二面角的余弦值为

A1
A
C1
B1
B
D
C
20．(2008陕西理)三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，，，．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．

20．解法一：（Ⅰ）平面平面，
．在中，，
A1
A
C1
B1
B
D
C
F
E
（第20题，解法一）
，，又，
，，即．
又，平面，
平面，平面平面．
（Ⅱ）如图，作交于点，连接，
由已知得平面．
是在面内的射影．
由三垂线定理知，
为二面角的平面角．
过作交于点，
则，，
．
在中，．
A1
A
C1
B1
B
D
C
z
y
x
（第20题，解法二）
在中，．
，
即二面角为．
解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，
则，
，．
点坐标为．
，．
，，，，又，
平面，又平面，平面平面．
（Ⅱ）平面，取为平面的法向量，
设平面的法向量为，则．
，
如图，可取，则，
，
即二面角为．

A1
A
C1
B1
B
D
C
21.(2008陕西文) 三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，为中点．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．

21．解：

22．(2008四川文) 如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，
，，分别为的中点
（Ⅰ）证明：四边形是平行四边形；
（Ⅱ）四点是否共面？为什么？
（Ⅲ）设，证明：平面平面；

22．【解1】：（Ⅰ）由题意知，
所以
又，故
所以四边形是平行四边形。
（Ⅱ）四点共面。理由如下：
由，是的中点知，，所以
由（Ⅰ）知，所以，故共面。
又点在直线上
所以四点共面。
（Ⅲ）连结，由，及知是正方形
故。由题设知两两垂直，故平面，
因此是在平面内的射影，根据三垂线定理，
又，所以平面
由（Ⅰ）知，所以平面。
由（Ⅱ）知平面，故平面，得平面平面

【解2】：由平面平面，，得平面，
以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系
（Ⅰ）设，则由题设得

所以
于是
又点不在直线上
所以四边形是平行四边形。
（Ⅱ）四点共面。理由如下：
由题设知，所以

又，故四点共面。
（Ⅲ）由得，所以
又，因此
即
又，所以平面
故由平面，得平面平面
【点评】：此题重点考察立体几何中直线与直线的位置关系，四点共面问题，面面垂直问题，考察了空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；
【突破】：熟悉几何公理化体系，准确推理，注意逻辑性是顺利进行解法1的关键；在解法2中，准确的建系，确定点坐标，熟悉向量的坐标表示，熟悉空间向量的计算在几何位置的证明，在有关线段，角的计算中的计算方法是解题的关键。

23．(2008四川理) 如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，
，
（Ⅰ）证明：四点共面；
（Ⅱ）设，求二面角的大小；

23．【解1】：（Ⅰ）延长交的延长线于点，
由得
延长交的延长线于
同理可得

故，即与重合
因此直线相交于点，即四点共面。
（Ⅱ）设，则，
取中点，则，又由已知得，平面
故，与平面内两相交直线都垂直。
所以平面，作，垂足为，连结
由三垂线定理知为二面角的平面角。

故
所以二面角的大小

【解2】：由平面平面，，得平面，以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系
（Ⅰ）设，则

故，从而由点，得
故四点共面
（Ⅱ）设，则，

在上取点，使，则
从而
又
在上取点，使，则
从而
故与的夹角等于二面角的平面角，

所以二面角的大小
【点评】：此题重点考察立体几何中四点共面问题和求二面角的问题，考察空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；
【突破】：熟悉几何公理化体系，准确推理，注意书写格式是顺利进行解法1的关键；在解法2中，准确的建系，确定点坐标，熟悉向量的坐标表示，熟悉空间向量的计算在几何位置的证明，在有关线段，角的计算中的计算方法是解题的关键。

24．（2008浙江文、理）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。
（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；
（Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为？

24．本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分．
方法一：
D
A
B
E
F
C
H
G
（Ⅰ）证明：过点作交于，连结，
可得四边形为矩形，
又为矩形，
所以，从而四边形为平行四边形，
故．
因为平面，平面，
所以平面．
（Ⅱ）解：过点作交的延长线于，连结．
由平面平面，，得
平面，
从而．
所以为二面角的平面角．
在中，因为，，所以，．
D
A
B
E
F
C
y
z
x
又因为，所以，
从而．
于是．
因为，
所以当为时，二面角的大小为．
方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．
设，
则，，，，．
（Ⅰ）证明：，，，
所以，，从而，，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
故平面．
（Ⅱ）解：因为，，
所以，，从而

解得．
所以，．
设与平面垂直，
则，，
解得．
又因为平面，，
所以，
得到．
所以当为时，二面角的大小为．

25． (2008重庆理)如题（19）图，在中，B=,AC=,D、E两点分别在AB、AC上.使,DE=3.现将沿DE折成直二角角，求：
（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；
（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）.

25．（本小题13分）
　　　解法一：
　　（Ⅰ）在答（19）图1中，因，故BE∥BC.又因B＝90°，
从而AD⊥DE.

在第（19）图2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE,故AD⊥底面DBCE，从而AD⊥DB.而DB⊥BC,故DB为异面直线AD与BC的公垂线.
下求DB之长.在答（19）图1中，由，得
又已知DE=3,从而

因
（Ⅱ）在第（19）图2中，过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F，连接AF.由（1）知，
AD⊥底面DBCE,由三垂线定理知AF⊥FC,故∠AFD为二面角A-BC-B的平面
角.
在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE,

因此
从而在Rt△DFE中，DE=3,

在
因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）如答（19）图3.由（Ⅰ）知，以D点为坐标原点，的方向为x、
y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，0，4），
，E（0，3，0）.

过D作DF⊥CE,交CE的延长线
于F，连接AF.

设从而
，有
①
又由 ②
联立①、②，解得
因为,故,又因,所以为所求的二面角A-EC-B的平面角.因有所以
因此所求二面角A-EC-B的大小为