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第三章 概率
3.1随机事件的概率
1．随机事件的概念——在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。
（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；
（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；
（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
2. 频数与频率，概率：事件A的概率 ——在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总接近于某个常数，
在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P（A）。——由定义可知0≤P（A）≤1
3．事件间的关系
（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；
（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；
（3）包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B（或事件B包含事件A）；
4．事件间的运算
（1）并事件或（和事件）若某事件发生是事件A发生或事件B发生，则此事件称为事件A与事件B的并事件。——P（A+B）=P（A）+P（B）（A.B互斥）；且有P（A+）=P（A）+P（=1。
交事件（积事件）若某事件发生是事件A发生和事件B同时发生，则此事件称为事件A与事件B的交事件。
【典型例题】
1、指出下列事件是必然事件，不可能时间，还是随机事件：
（1）“天上有云朵，下雨”；
（2）“在标准大气压下且温度高于0C时，冰融化”；
（3）“某人射击一次，不中靶”；
（4）“如果，那么”；
2、判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明道理。
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：
（1）恰有1名男生和恰有2名男生；
（2）至少有1名男生和至少有1名女生；
（3）至少有1名男生和全是男生；
（4）至少有1名男生和全是女生
3、给出下列命题，判断对错：
（1）互斥事件一定对立；（2）对立事件一定互斥；（3）互斥事件不一定对立。
4、（1）抛掷一个骰子，观察出现的点数，设事件A为“出现 1点”，B为“出现2点”。已知,求出现1点或2点的概率。

（2）盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取三只球，设事件A表示“三只球只有一只红球，2只白球”，B表示“三只球中只有2只红球，1只白球”。已知,求这三只球中既有红球又有白球的概率。
【练习】
1、下面事件：①在标准大气压下,水加热到80℃时会沸腾；②抛掷一枚硬币,出现反面；③实数的绝对值不小于零；其中是不可能事件的是 ( )
A. ② B. ① C. ① ② D. ③
2、有下面的试验：①如果 ,那么 ；②某人买彩票中奖；③实系数一次方程必有一个实根；④在地球上,苹果抓不住必然往下掉；其中必然现象有 ( )
A. ① B. ④ C. ①③ D. ①④
3、从12个同类产品(其中有10个正品,2个次品)中,任意取3个的必然事件是（ ）
A.3个都是正品 B.至少有1个是次品
C.3个都是次品 D.至少有1个是正品
4、下列事件是随机事件的有( )
A.若、、都是实数,则
B.没有空气和水,人也可以生存下去。
C.抛掷一枚硬币,出现反面。
D.在标准大气压下,水的温度达到90℃时沸腾。
5、某人将一枚硬币连掷了10次,正面朝上出现了6次,若用A表示正面朝上这一事件,则A的频率为( )
A. B. C. 6 D. 接近
6、从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片,并记下号码,统计如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
则取到号码为奇数的频率是( )
A. 0.53 B. 0.5 C.0.47 D. 0.37
7、随机事件A发生的概率的范围是 ( )
A. PA.>0 B.PA.<1 C. 0<PA.<1 D. 0≤PA.≤1
8、气象台预报“本市明天降雨概率是70%”,以下理解正确的是 ( )
A.本市明天将有70%的地区降雨； B.本市明天将有70%的时间降雨;
C.明天出行不带雨具肯定淋雨; D.明天出行不带雨具淋雨的可能性很大.
9、某人抛掷一枚硬币100次,结果正面朝上有53次,设正面朝上为事件A,则事件A出现的频数为_____,事件A出现的频率为_______。
10、一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品,从这批产品中任意抽5件,现给以下四个事件：A.恰有1件次品；B.至少有2件次品；C.至少有1件次品；D.至多有1件次品；并给出以下结论：①A+B=C；②B+D是必然事件；③A+C=B；④A+D=C；
其中正确的结论为__________(写出序号即可).

11、先后抛掷2枚均匀的硬币.
①一共可能出现多少种不同的结果？

②出现“1枚正面,1枚反面”的结果有多少种？

③出现“1枚正面,1枚反面”的概率是多少？

④有人说：“一共可能出现‘2枚正面’、‘2枚反面’、‘1枚正面,1枚反面’这3种结果,因此出
现‘1枚正面,1枚反面’的概率是.”这种说法对不对？
12、从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数,分别有下列事件：
①恰有一个是奇数或恰有一个是偶数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
其中为互斥事件的是 ( )
A. ① B.②④ C.③ D.①③
13、一箱产品中有正品4件,次品3件,从中任取2件,其中事件：
①恰有1件次品和恰有2件次品； ②至少有1件次品和全是次品；
③至少有1件正品和至少有1件次品； ④至少有1件次品和全是正品.
是互斥事件的组数有 ( )
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
14、某人射击一次,设事件A：“中靶”；事件B：“击中环数大于5”；事件C：“击中环数大于1且小于6”；事件D：“击中环数大于0且小于6”,则正确的关系是 ( )
A. B与C为互斥事件 B. B与C为对立事件
C. A与D为互斥事件 D. A与D为对立事件
15、从装有2个红球和2个白球的中袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A. 至少有1个白球,都是白球. B.至少有1个白球,至少有1个红球.
C. 恰有1个白球,恰有2个白球. D.至少有1个白球,都是红球.
16、在某一时期内,一条河流某处的最高水位在各个范围内的概率如下表：
年最高水位
(单位：m)

概率
0.1
0.28
0.38
0.16
0.08
计算在同一时期内,河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：
⑴. ； ⑵.； ⑶. ；
17、某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4,求：
⑴他乘火车或乘飞机去的概率.
⑵他不乘轮船去的概率.
⑶如果他去的概率为0.5,请问他有可能是乘何种交通工具去的？
3.2古典概型
（1）基本事件：一次实验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
备注：①基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他时间可以用它们来表示；
②所以的基本事件都是有限个；
③每个基本事件的发生都是等可能的。
（2） 基本事件的特点：①任何两个基本事件都是互斥的。一次实验中，只可能出现一种结果，即产生一
个基本事件。
②任何事件都可以表示成基本事件的和。
（3）古典概型：满足①实验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等 的概率模型称为古典概型
（4）概率的古典意义
对于古典概型，任何事件的概率为
（5）基本事件数的探求方法
列举法；②树状图法；
【典型例题】
1、连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币是出现正面还是反面
（1）写出这个实验的基本事件空间；
（2）求这个实验的基本事件的总数；
（3）“恰有两枚正面朝上”这个事件包含哪几个基本事件。
2、把一枚骰子抛6次，设正面向上的点数为X，
（1）求出X的可能取值情况（即全体基本事件）；
(2)下列事件有哪些基本事件组成（用X的取值回答）？
①X的取值为2的倍数（记为事件A）；
②X的取值大于3（记为事件B）；
③X的取值不超过2（记为事件C）；
④X的取值是质数（记为事件D）。
判断上述事件是否为古典概型，并求其概率。
3、连续掷三枚硬币观察落地后这三枚硬币出现正面还是反面，（1）写出这个实验的基本事件；（2）求这个实验的基本事件总数；（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含了哪几个基本事件？
4、复杂）在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有一个红球的概率是多少？
5、甲、乙两人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题。（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少；（2）甲、乙二人中至少有一个人抽到选择题的概率是多少？
【练习】
1、在所有的两位数(10-99)中,任取一个数,则这个数能被2或3整除的概率是( )
A. B. C. D.
2、甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率为90%,则甲、乙两人下成和棋的概率为（ ）
A. 60% B. 30% C. 10% D. 50%

3、根据多年气象统计资料,某地6月1日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该日晴天的概率为（ ）
A. 0.65 B. 0.55 C. 0.35 D. 0.75
4、某射手射击一次,命中的环数可能为0,1,2,…10共11种,设事件A：“命中环数大于8”,事件B：“命中环数大于5”,事件C：“命中环数小于4”,事件D：“命中环数小于6”,由事件A.B.C.D中,互斥事件有 ( )
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D.4对
5、产品中有正品4件,次品3件,从中任取2件,其中事件：①恰有一件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全都是次品；③至少有1件正品和至少有一件次品；④至少有1件次品和全是正品.4组中互斥事件的组数是 ( )
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
6、某人在打靶中连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A.至多有一次中靶 B. 两次都中靶
C.两次都不中靶 D.只有一次中靶
7、对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A=﹛两次都击中﹜,B=﹛两次都没击中﹜,C=﹛恰有一次击中﹜,D=﹛至少有一次击中﹜,其中彼此互斥的事__________________；互为对立事件的是_________。
8、从甲口袋中摸出1个白球的概率是,从乙口袋中摸出一个白球的概率是,那么从两个口袋中各摸1个球,2个球都不是白球的概率是___________。
9、袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球,从中任取一球,摸出红球、白球的概率各是0.40和0.35,那么黑球共有____个
10、随意安排甲、乙、丙三人在三天节日里值班,每人值一天,请计算：
①这三人的值班顺序共有多少种不同的安排方法？
②甲在乙之前的排法有多少种？
③甲排在乙之前的概率是多少？……
11、假如小猫在如图所示的地板上自由的走来走去,并随意停留在某块方砖上,它最终停留在黑色方砖上的概率是多少？(图中每一块方砖除了颜色外完全相同)

12、从一个装有2黄2绿的袋子里有放回的两次摸球,两次摸到的都是绿球的概率是多少？

13、现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取件，求件都是正品的概率．
14、抛掷颗质地均匀的骰子，求点数和为的概率_______________。
15、从1,2,3,4,5,6这6个数字中, 任取2个数字相加, 其和为偶数的概率是 ______ .
16、有五条线段长度分别为，从这条线段中任取条，则所取条线段能构成一个三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
17、从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________
18、现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 .
19、一袋中装有大小相同，编号分别为的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取次，则取得两个球的编号和不小于的概率为 （ ）

3.3几何概型
（1）几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，称这样的概率模型为集合概率模型，简称集合概型。
备注：（1）几何概型的特点①无限性，即在一次实验中，基本事件的个数可以是无限的；②等可能性，即每个基本事件发生的可能性是均等的。
（2）几何概型的概率计算公式

【典型例题】
1、假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?
2、在边长为2的正方形中随机撒一大把豆子，计算落在正方形的内切圆的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值。
3、在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm，4cm，6cm，某人站在3m之外向此版投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，问：
(1) 投中大圆的内的概率是多少？（2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
(3)投中大圆之外的概率是多少？

【练习】
1、一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨至和下午至，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（ ）
A． B． C．　 D．
图1
2、如图1，分别以正方形的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 ( )
A. B. C. D.
3、设，则关于在上有两个不同的零点的概率为___________
4、在的水中有一个草履虫，现从中随机取出水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是_____________。
5、已知地铁列车每10min一班，在车站停１min，则乘客到达站台立即乘上车的概率为＿.
6、在线段[0,3]上任取一点,其坐标小于1的概率是_____________.
7、在地球上海洋占70.9%的面积,陆地占29.1%的面积,现在太空有一颗陨石正朝着地球的方向飞来,将落在地球的某一角.你认为陨石落在陆地的概率约为_____________,落在我国国土内的概率为________.(地球的面积约为5.1亿平方千米)
8、已知集合A=,在平面直角坐标系中,点的坐标
,点正好在第二象限的概率是 ( )
A. B. C. D.
9、取一根长度为３m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于１m的概率有多大？
10、在10立方米的沙子中藏有一个玻璃球,假定这个玻璃球在沙子中的任何一个位置是等可能的,若取出1立方米的沙子.求取出的沙子中含有玻璃球的概率.